二元配置分散分析とは?

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二元配置分散分析


検定手順:
  1. 要因 A,B の組合せによる測定値を,表 1 のように表す。
    表 1. 二元配置分散分析の各セル繰返し数と平均値
    要因 B
     水準 1   水準 2   …   水準 b  ケース合計 平均値
    要因 A水準 1 n11 n12 n1b n1 二元配置分散分析1・
    水準 2 n21 n22 n2b n2 二元配置分散分析2・
    水準 a na1 na2 nab na 二元配置分散分析a・
    ケース
    合計
    n・1 n・2 n・b n・・
    平均値 二元配置分散分析・1 二元配置分散分析・2 ... 二元配置分散分析・b 二元配置分散分析・・

  2. 前提

セルケース数により,以下の 4 つの方法のどれかにより検定を行う。


二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,1 である場合


例題
 「表 1 のようなデータがある。4 種の肥料間で収量に差があるか,また,3 種品種ごとに差があるか検定しなさい。」
表 1.各水準繰返し数が等しく1 である場合
肥料
品種 B1 B2 B3 B4
A1 9 17 12 16
A2 1 21 16 11
A3 7 19 6 9


検定手順:
  1. 前提
  2. セル測定値を Xij( i = 1, 2, ... , a;j = 1, 2, ... , b )とする。
    例題では,a = 3b = 4 である。
  3. 分析対象変数 X の全変動 SSt は以下のように 3 個の独立変動分解できる。
    変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSe
    SSaSSbそれぞれ要因 A,要因 B の主効果よばれる。この場合には交互作用はない。これは,乱塊法他ならない
    二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,1 である場合
  4. 二元配置分散分析の結果は,表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2分散分析表 - 1
    変動要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    要因 A SSa dfa=a-1 MSa=SSa/dfa Fa=MSa/MSe
    要因 B SSb dfb=b-1 MSb=SSb/dfb Fb=MSb/MSe
    残差 SSe dfe=(a-1)(b-1) MSe=SSe/dfe
    全体 SSt dft=ab-1

    例題では,表 3 のようになる。
    表 3例題対す分散分析
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    品種 21.50000 2 10.75000 0.6592845 0.55103
    肥料 268.6667 3 89.55556 5.492334 0.03719
    残差 97.83333 6 16.30556
    合計 388.0000 11 35.27273

  5. 要因 A の有意性検定は,Fa が第 1 自由度dfa,第 2 自由度dfe である F 分布に従うことを利用する。
  6. 要因 B の有意性検定は,Fb が第 1 自由度dfb,第 2 自由度dfe である F 分布に従うことを利用する。
  7. それぞれの自由度を持つ F 分布において,有意確率P = Pr{F ≧ F0} とする。
    F 分布表(α = 0.05,α = 0.025,α = 0.01,α = 0.005),または F 分布の上確率計算参照すること。
    例題では,品種の差については,自由度が(2,6)の F 分布において,Pr{F ≧ 5.14}= 0.05 であるからP = Pr{F ≧ 0.659}> 0.05 である(正確な有意確率P = 0.551)。
    肥料の差については,自由度が(3,6)の F 分布において,Pr{F ≧ 4.76}= 0.05 であるからP = Pr{F ≧ 5.492}< 0.05 である(正確な有意確率P = 0.037)。
  8. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),品種の差においては P > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「品種の差があるとはいえない」とする。肥料の差においては P < α であるから帰無仮説棄却する。すなわち,「肥料の差がある」とする。


二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,2 以上である場合


例題
 「年齢季節ホルモン分泌量と関係するかどうかについて,年齢階級および各季節ごとにそれぞれ別々に 3 人ずつ,計 60 人の被検者ホルモン分泌量を測定した結果表 1ようになった。5% の有意水準で二元配置分散分析をしなさい。」
表 1年齢季節ホルモン分泌量に与え影響
2024 2529 3034 3539 4045
24.8
23.9
24.1
25.0
26.6
27.9
27.5
32.5
29.5
29.8
26.7
30.7
28.5
25.7
28.7
28.8
22.6
28.0
28.5
27.1
25.2
26.3
28.2
31.8
28.5
26.5
26.7
31.3
29.4
29.8
26.4
27.4
29.4
27.9
29.2
26.7
30.2
31.7
29.2
31.7
27.2
25.5
30.3
29.6
31.7
30.0
28.7
29.2
25.0
29.9
29.4
30.3
30.9
28.4
29.9
27.3
28.8
33.6
32.0
34.3


検定手順:
  1. 前提
  2. 繰返し数を n,各セル測定値を Xijk(i=1,2,... ,a;j=1,2,... ,b;k=1,2,... ,n)とする。
    例題では,n = 3a = 4b = 5 である。
  3. 表 2 の各水準平均値は,二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,2 以上である場合i . .二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,2 以上である場合. j . のように “.” が最後にもう 1 個つき,それは各水準組み合わせでの繰返しnij を意味する。また,二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,2 以上である場合ij . は各水準組み合わせでの平均値を意味する。
  4. この場合には,分析対象変数 X の全変動 SSt は以下のように 4 個の独立変動分解できる。
    変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSab + SSe
    二元配置分散分析--各水準の繰返し数が等しく,2 以上である場合
  5. この場合,二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2分散分析
    変動要因 平方和 自由度 平均平方
    要因 A SSa dfa = a - 1 MSa = SSa / dfa
    要因 B SSb dfb = b - 1 MSb = SSb / dfb
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab
    残差 SSe dfe = a b ( n - 1 ) MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = a b n - 1

    表 3分散分析表 を解釈する 3 つのモデル
    F 値
    変動要因 モデルI モデルII 混合モデル
    要因 A Fa = MSa / MSe MSa / MSab MSa / MSab
    要因 B Fb = MSb / MSe MSb / MSab MSb / MSe
    交互作用 Fab = MSab / MSe MSab / MSe MSab / MSe

    モデル I は 母数モデル とも呼ばれる要因 A,B の各水準固定された不動のものとみなす。

    モデル II変量モデル とも呼ばれる要因 A,B の各水準は無数の水準内の標本とみなし,そこから得られる推測結論を,標本以外の広い範囲へも適用ようとするのである

    混合モデル は,片方要因母数モデル,もう一方要因変量モデル考えるものである
  6. それぞれの自由度を持つ F 分布において,有意確率P = Pr{F ≧ F0} とする。
    F 分布表(α = 0.05,α = 0.025,α = 0.01,α = 0.005),または F 分布の上確率計算参照すること。
  7. 帰無仮説採否決める。

    例題では,それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端帰無仮説棄却するか採択するかを示す。
    n.s. は有意確率が 0.05 以上なので,帰無仮説採択する。
    * は有意確率が 0.05 以下なので,帰無仮説棄却する。
    ** は有意確率が 0.01 以下なので,帰無仮説棄却する。

    表 4モデル I( 母数モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    季節 51.39733 3 17.13244 4.937067 0.00520 **
    年齢 106.2873 4 26.57183 7.657221 0.00011 **
    交互作用 52.85267 12 4.404389 1.269215 0.27389 n.s.
    残差 138.8067 40 3.470167
    合計 349.3440 59 5.921085

    表 5.モデル II変量モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    季節 51.39733 3 17.13244 3.889857 0.03739 *
    年齢 106.2873 4 26.57183 6.033035 0.00672 **
    交互作用 52.85267 12 4.404389 1.269215 0.27389 n.s.
    残差 138.8067 40 3.470167
    合計 349.3440 59 5.921085


二元配置分散分析--周辺度数に比例する場合


例題
 「表 1 のようなデータについて二元配置分散分析を行いなさい。」
表 1.各水準繰返し数が等しくないが,
周辺度数比例する場合
要因 B
 b1   b2   b3   b4   b5 
要因 A  a1  7.0 
5.7 
4.6 
5.6 
7.0 
7.4 
6.6 
7.3 
6.3 
7.8 
5.3 
4.7 
 a2  5.8 
8.9 
10 
7.1 
6.5 
9.8 
5.0 
9.7 
6.4 
9.9 
7.8 
5.4 
 a3  8.1 
6.1 
10.2 
6.9 
5.2 
5.7 
11.8 
6.1 
10.4 
5.6 
9.4 
5.9 
12.1 
5.7 
5.3 
9.7 
5.5 
10.2 
13.8 
7.0 
11.1 
4.2 
7.1 
5.0 


検定手順:
  1. 前提
  2. 分析対象変数 X の全変動 SSt は,次式のように 4 個の独立変動分解できる。
    変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    SSt = SSa + SSb + SSab + SSe
    SSaSSbそれぞれ要因 A,要因 B の主効果よばれる
    二元配置分散分析--周辺度数に比例する場合
  3. この場合,二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2分散分析
    変動要因 平方和 自由度 平均平方
    要因 A SSa dfa = a - 1 MSa = SSa / dfa
    要因 B SSb dfb = b - 1 MSb = SSb / dfb
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab
    残差 SSe dfe = n・・- a b MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = n・・ - 1

    表 3分散分析表 を解釈する 3 つのモデル
    F 値
    変動要因 モデルI モデルII 混合モデル
    要因 A Fa = MSa / MSe MSa / MSab MSa / MSab
    要因 B Fb = MSb / MSe MSb / MSab MSb / MSe
    交互作用 Fab = MSab / MSe MSab / MSe MSab / MSe

    モデル I は 母数モデル とも呼ばれる要因 A,B の各水準固定された不動のものとみなす。

    モデル II変量モデル とも呼ばれる要因 A,B の各水準は無数の水準内の標本とみなし,そこから得られる推測結論を,標本以外の広い範囲へも適用ようとするのである

    混合モデル は,片方要因母数モデル,もう一方要因変量モデル考えるものである

  4. それぞれの自由度を持つ F 分布において,有意確率P = Pr{F ≧ F0} とする。
    F 分布表(α = 0.05,α = 0.025,α = 0.01,α = 0.005),または F 分布の上確率計算参照すること。
  5. 帰無仮説採否決める。

    例題では,それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端帰無仮説棄却するか採択するかを示す。
    n.s. は有意確率が 0.05 以上なので,帰無仮説採択する。
    * は有意確率が 0.05 以下なので,帰無仮説棄却する。
    ** は有意確率が 0.01 以下なので,帰無仮説棄却する。

    表 4モデル I( 母数モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 1.758991 0.18798 n.s.
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 5.モデル II変量モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 4.978102 0.02600 *
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 6.混合モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F 値 有意確率
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847


二元配置分散分析--周辺度数にも比例しない場合


 二元配置分散分析において,「各水準繰返し数が等しくなく,周辺度数にも比例しない」という状況は,データ採取後に 2 要因ケースを 2 重分類して要因効果検討するような場合には最もありうる
 このようなものを,非直交要因計画といい,要因の主効果互に独立ではなく交互作用も主効果独立ではないので平方和変動 )の加法性そのままでは成立しない。要因間に因果順序がなく,主効果交互作用よりはるかに大き場合古典的要因計画法 )には以下のように分析が行われる。


例題
 「表 1データについて二元配置分散分析を行いなさい。」
表 1.非直交要因計画による観察データ
要因 B
 b1   b2 
要因 A a1  17 
16 
25 
22 
 a2  18 
26 
34 
30 
34 
30 


検定手順:
  1. 前提
  2. 解析対象変数変動SSt である。
    例題では,SSt = 415.6 である。
  3. 分析対象変数 X の全変動 SSt は,次式のように 4 個の独立変動分解できる。
    変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差
    二元配置分散分析の結果は,表 2 のような分散分析表で表される。
    表 2分散分析
    変動要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    要因 A SSa・b dfab = a - 1 MSa・b = SSa・b / dfa・b Fa・b = MSa・b / MSe
    要因 B SSb・a dfba = b - 1 MSb・a = SSb・a / dfb・a Fb・a = MSb・a / MSe
    交互作用 SSab dfab = ( a - 1 ) ( b - 1 ) MSab = SSab / dfab Fab = MSab / MSe
    残差 SSe dfe = n・・ - a b MSe = SSe / dfe
    全体 SSt dft = n・・ - 1

  4. 2 要因加法的効果SSa,b としたとき 2 要因は非直交であるからSSa,b ≠ SSa + SSb である( したがって,SSa + SSb + SSab + SSeSSt である )。そこで,SSa,b のうち要因 B で説明されない部分要因 A に割当て要因 A で説明されない部分要因 B に割当てる具体的には,各要因についてダミー変数を用いた重回帰分析行い,対応する変動抽出する
    例題では,要因 A,B の水準の数はそれぞれ 2 であるので,主効果を表すダミー変数それぞれ 1 個ずつ考えればよい。水準 1 の場合に 1,水準 2 の場合に 0 を取るようなダミー変数考える。また,交互作用を表すダミー変数も 1 個考えればよく,要因 A,B とも水準 1 の場合に 1,そうでない場合に 0 を取るようなダミー変数考える。
    重回帰分析に用いるデータ行列表 3 のようになる。
    表 3重回帰分析に用いるデータ行列
    水準 観察
    従属変数
    ダミー変数独立変数
    要因A 要因B A の主効果 B の主効果 A, Bの 交互作用
    1 1 17 1 1 1
    1 1 16 1 1 1
    1 2 25 1 0 0
    1 2 22 1 0 0
    2 1 18 0 1 0
    2 1 26 0 1 0
    2 2 34 0 0 0
    2 2 30 0 0 0
    2 2 34 0 0 0
    2 2 30 0 0 0

  5. 要因 A,B およびその交互作用を表す( a - 1 ) + ( b - 1 ) + ( a - 1 )( b - 1 )個のダミー変数独立変数とし,解析対象変数従属変数とした重回帰分析を行う。これは「飽和モデル」であり,2 つの要因全ての効果抽出するのである。重回帰分散分析表の残差平方和の項が SSe である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項が SSa,b,ab である。SSt = SSa,b,ab + SSe という関係が成り立つ。
    例題では,飽和モデルとして,A の主効果,B の主効果,A, B の交互作用を表す 3 つのダミー変数独立変数として重回帰分析を行う。
    表 4 から,残差平方和 SSe = 53.0 を得る。
    また,回帰により説明される平方和SSa,b,ab = 362.6 である。
    表 4飽和モデル
    回帰分析における分散分析
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 362.6000 3 120.8667 13.68302
    残差 53.00000 6 8.833333
    全体 415.6000 9

  6. 要因 A,B を表す( a - 1 ) + ( b - 1 )個のダミー変数独立変数とし,解析対象変数従属変数とした重回帰分析を行う。これは要因 A と B の「加法モデル」である。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は SSa,bである。
    例題では,要因 A と B の加法モデルとして,A の主効果,B の主効果を表す 2 つのダミー変数独立変数として重回帰分析を行う。
    表 5 の回帰により説明される平方和SSa,b = 357.4571 である。
    表 5.加法モデル
    回帰分析における分散分析
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 357.4571 2 178.7286 21.51769
    残差 58.14286 7 8.306122
    全体 415.6000 9

  7. 要因 A,B の交互作用は,SSab = SSa,b,ab - SSa,b で定義する。
    例題では,表 4回帰により説明される平方和SSa,b,ab = 362.6 )と,表 5 の回帰により説明される平方和SSa,b = 357.4571 )の差( 5.142857 )が,交互作用平方和 SSab = 362.6 - 357.4571 = 5.1429 である。
  8. 要因 A を表す( a - 1 )個のダミー変数独立変数とし,解析対象変数従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 A の主効果 SSaである。
    例題では,要因 A を表す 1 つダミー変数独立変数として重回帰分析を行う。
    表 6 の回帰により説明される平方和SSa = 180.2667 である。
    表 6.要因 A の
    回帰分析における分散分析
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 180.2667 1 180.2667 6.128045
    残差 235.3333 8 29.41667
    全体 415.6000 9

  9. 要因 B を表す( b - 1 )個のダミー変数独立変数とし,解析対象変数従属変数とした重回帰分析を行う。全てのダミー変数によって説明される平方和の項は要因 B の主効果 SSbである。
    例題では,要因 B を表す 1 つダミー変数独立変数として重回帰分析を行う。
    表 7 の回帰により説明される平方和SSb = 236.0167 である。
    表 7.要因 B の
    回帰分析における分散分析
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値
    回帰 236.0167 1 236.0167 10.51397
    残差 179.5833 8 22.44792
    全体 415.6000 9

  10. 加法モデルにより説明される変動のうち,要因 B で説明されない部分を,「B で調整された A の主効果」として SSa ・ b = SSa,b - SSb で定義する。
    例題では,表 5 の回帰により説明される平方和SSa,b = 357.4571 )と,表 7 の回帰により説明される平方和SSb = 236.0167 )の差が,SSa ・ b = 357.4571 - 236.0167 = 121.4404 である。
  11. 加法モデルにより説明される変動のうち,要因 A で説明されない部分を,「A で調整された B の主効果」として SSb ・ a = SSa,b - SSa で定義する。
    例題では,表 7 の回帰により説明される平方和SSa,b = 357.4571 )と,表 6 の回帰により説明される平方和SSa = 180.2667 )の差が SSb ・ a = 357.4571 - 180.2667 = 177.1904 である。
  12. 要因 A の有意性検定は,Fa・b が第 1 自由度dfa・b,第 2 自由度dfe である F 分布に従うことを利用する。
  13. 要因 B の有意性検定は,Fb・a が第 1 自由度dfb・a,第 2 自由度dfe である F 分布に従うことを利用する。
  14. 交互作用有意性検定は,Fab が第 1 自由度が dfab,第 2 自由度dfe である F 分布に従うことを利用する。
  15. それぞれの自由度を持つ F 分布において,有意確率P = Pr{F ≧ F0} とする。
    F 分布表(α = 0.05,α = 0.025,α = 0.01,α = 0.005),または F 分布の上確率計算参照すること。
  16. 以上をまとめて分散分析表を完成させる。
    例題では,表 8 のようになる。
    表 8.表 1データ対す分散分析表 - モデル I( 母数モデル
    要因 平方和 自由度 平均平方 F値 有意確率
    要因 A SSa・b 121.4405 1 121.4405 13.74798 0.01000
    要因 B SSb・a 177.1905 1 177.1905 20.05930 0.00420
    交互作用 SSab 5.142857 1 5.142857 0.5822102 0.47437
    残差 SSe 53.00000 6 8.833333
    合計 SSt 415.6000 9 46.17778

  17. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),要因 A の効果は, P < α であるから帰無仮説棄却する。すなわち,「要因効果がある」とする。要因 B の効果は, P < α であるから帰無仮説棄却する。すなわち,「要因効果がある」とする。交互作用は, P > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「交互作用があるとはいえない」とする。





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