二標本コルモゴロフ・スミルノフ検定

統計学用語辞典

二標本コルモゴロフ・スミルノフ検定

例題：
　「表 1 のような二群のデータがある。身長の代表値に差があるかどうか，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1．二群の身長

	観察度数		累積度数		累積相対度数
階級	第1群	第2群	第1群	第2群	第1群	第2群	差
142	1	0	1	0	0.005	0.000	0.005
143	2	1	3	1	0.014	0.005	0.009
144	1	2	4	3	0.019	0.016	0.003
145	3	2	7	5	0.032	0.026	0.007
146	2	4	9	9	0.042	0.047	-0.005
147	3	5	12	14	0.056	0.073	-0.017
148	3	6	15	20	0.069	0.104	-0.034
149	2	8	17	28	0.079	0.145	-0.066
150	7	10	24	38	0.111	0.197	-0.086
151	11	7	35	45	0.162	0.233	-0.071
152	10	16	45	61	0.208	0.316	-0.108
153	9	17	54	78	0.250	0.404	-0.154
154	13	17	67	95	0.310	0.492	-0.182
155	13	13	80	108	0.370	0.560	-0.189
156	22	19	102	127	0.472	0.658	-0.186
157	17	13	119	140	0.551	0.725	-0.174
158	23	18	142	158	0.657	0.819	-0.161
159	20	10	162	168	0.750	0.870	-0.120
160	17	4	179	172	0.829	0.891	-0.062
161	14	6	193	178	0.894	0.922	-0.029
162	13	6	206	184	0.954	0.953	0.000
163	5	5	211	189	0.977	0.979	-0.002
164	2	1	213	190	0.986	0.984	0.002
165	1	3	214	193	0.991	1.000	-0.009
166	1	0	215	193	0.995	1.000	-0.005
167	1	0	216	193	1.000	1.000	0.000
合計	216	193

R による解析：

> obs1 <- c(1,2,1,3,2,3,3,2,7,11,10,9,13,13,22,17,23,20,17,14,13,5,2,1,1,1)
> obs2 <- c(0,1,2,2,4,5,6,8,10,7,16,17,17,13,19,13,18,10,4,6,6,5,1,3,0,0)

> ks2(obs1, obs2)	# この関数の定義を見る
          D        d.f.     P value 
0.189215122 2.000000000 0.001353201 

二標本コルモゴロフ・スミルノフ検定

1. 両側検定では，代表値の差だけでなく，分布の違い（ちらばり，非対称度）も検出する。したがって，帰無仮説が棄却された場合に，分布の違いが検出されたのか代表値の違いが検出されたのかを検討する必要がある。
   
2. この検定手法は 2 群の分布の違いがどのようなものであっても検出してしまう。代表値の差の検定を行うためには，代表値の差以外の分布の形（散布度など）が 2 群で同じでなければならない。
   
3. 分布の形が大幅に異なるならば，検定結果が有意であっても，代表値に差があることを意味するのか，分布の形が違うのか解釈できない。
   
4. 代表値に差がないときに，分布が異なる場合には，この検定は分布の差の検定になる。
   
5. 代表値の差を比較する変数が間隔尺度以上の場合にはカテゴリー化して検定に用いるが，カテゴリー数が少なすぎると検出力が弱くなるので注意しなければならない。

例題：
　「表 1 のような二群のデータがある。身長の代表値に差があるかどうか，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1．二群の身長

	観察度数		累積度数		累積相対度数
階級	第1群	第2群	第1群	第2群	第1群	第2群	差
142	1	0	1	0	0.005	0.000	0.005
143	2	1	3	1	0.014	0.005	0.009
144	1	2	4	3	0.019	0.016	0.003
145	3	2	7	5	0.032	0.026	0.007
146	2	4	9	9	0.042	0.047	-0.005
147	3	5	12	14	0.056	0.073	-0.017
148	3	6	15	20	0.069	0.104	-0.034
149	2	8	17	28	0.079	0.145	-0.066
150	7	10	24	38	0.111	0.197	-0.086
151	11	7	35	45	0.162	0.233	-0.071
152	10	16	45	61	0.208	0.316	-0.108
153	9	17	54	78	0.250	0.404	-0.154
154	13	17	67	95	0.310	0.492	-0.182
155	13	13	80	108	0.370	0.560	-0.189
156	22	19	102	127	0.472	0.658	-0.186
157	17	13	119	140	0.551	0.725	-0.174
158	23	18	142	158	0.657	0.819	-0.161
159	20	10	162	168	0.750	0.870	-0.120
160	17	4	179	172	0.829	0.891	-0.062
161	14	6	193	178	0.894	0.922	-0.029
162	13	6	206	184	0.954	0.953	0.000
163	5	5	211	189	0.977	0.979	-0.002
164	2	1	213	190	0.986	0.984	0.002
165	1	3	214	193	0.991	1.000	-0.009
166	1	0	215	193	0.995	1.000	-0.005
167	1	0	216	193	1.000	1.000	0.000
合計	216	193

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「2 群の母代表値に差はない」。
   • 対立仮説 H1：「2 群の母代表値に差がある」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。
   
   
2. 各群について累積相対度数分布を求め，各階級で差をとる。
   

   	累積相対度数
   階級	第 1 群	第 2 群	差（di）
   1	P11	P12	P11 - P12
   2	P21	P22	P21 - P22
   ：	：	：	：
   i	Pi1	Pi2	Pi1 - Pi2
   ：	：	：	：
   k	1.0	1.0	0.0

   
   
3. 両側検定の場合には，累積相対度数の差の絶対値 | di | のうち最も大きいものを検定統計量 D とする。
   例題では，D = 0.189 である。
   
4. 各群の例数を，n1，n2 として，以下の検定統計量を計算する。
   
   例題では，n1 = 216，n2 = 193 であり，χ²0 ≒ 14.563 である。
   
5. n1，n2 ＞ 40 のとき，χ²0 は，近似的に自由度が 2 の χ² 分布に従う。
   　　注：n1，n2 が 40 以下のとき，近似の程度は悪い。
   
6. 有意確率を P = 2 × Pr｛χ² ≧ χ²0｝とする（P ＞ 1 のときは，P = 1 とする）。
   χ²分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，有意確率 P = 2 × 0.000688153 = 0.001376306。
   
7. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「母代表値に差があるとはいない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「母代表値に差がある」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「身長の母代表値に差がある」といえる。