でんしん‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【電信方程式】
電信方程式
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電信方程式（でんしんほうていしき、英: telegraphic equation）とは、波動や信号の伝播を記述する2階の線形偏微分方程式のこと。分布定数回路における電流や電圧の分布、導体中の電磁場の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。
定義と性質
空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、
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電信方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/29 13:52 UTC 版)
詳細は「電信方程式」を参照 電信方程式（Telegrapher's Equations、あるいはTelegraph Equations）は長さを持ち、時間を考慮した伝送線路における電圧と電流を表した偏微分方程式である。これらは、マクスウェル方程式を元に伝送線路のモデルを作り出した、オリヴァー・ヘヴィサイドにより考案されたものである。 伝送線路のモデルは伝送線路を2ポートの素子により構成されたものを無限に直列に接続した分布定数回路で表される。それぞれは伝送線路の短い区間の無限回の繰り返しとして表される。 抵抗 R {\displaystyle R} は、単位長さあたりの直列の抵抗 (Ω/m) を示す。 インダクタ L {\displaystyle L} は、配線の周りの磁界などによる単位長さ当たりの直列のインダクタ (H/m) を示す。 キャパシタンス C {\displaystyle C} は2つの導体、信号線と対地間の単位長さ当たりの容量 (F/m) を示す。 コンダクタンス G {\displaystyle G} は2つの導体、信号線と対地間の単位長さ当たりの誘電体のコンダクタンス (S/m) を示す。 このモデルは、図の中に「無限の直列素子」が既に含まれて構成されており、素子の値は「単位長さあたり」を表している。そのため、この回路図はしばしば誤解されることがある。 R {\displaystyle R} 、 L {\displaystyle L} 、 C {\displaystyle C} 、 G {\displaystyle G} は周波数の関数で表される。長さで微分を行った値として R ′ {\displaystyle R'} 、 L ′ {\displaystyle L'} 、 C ′ {\displaystyle C'} 、 G ′ {\displaystyle G'} の値を使用する。 線路の電圧 V ( x ) {\displaystyle V(x)} と電流 I ( x ) {\displaystyle I(x)} を周波数領域を考慮して表記すると次の様になる。 ∂ V ( x ) ∂ x = − ( R + j ω L ) I ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=-(R+j\omega L)I(x)} ∂ I ( x ) ∂ x = − ( G + j ω C ) V ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial I(x)}{\partial x}}=-(G+j\omega C)V(x)} 伝送線路が無損失であると仮定した場合、 R {\displaystyle R} 、 G {\displaystyle G} の素子は無視して構わない。この仮定の場合、モデルは L {\displaystyle L} と C {\displaystyle C} に依存し、以上に単純な解析となる。無損失の伝送線路の場合、電信方程式の2次の定常状態は、 次の形で表される。 ∂ 2 V ( x ) ∂ x 2 + ω 2 L C ⋅ V ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot V(x)=0} ∂ 2 I ( x ) ∂ x 2 + ω 2 L C ⋅ I ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0} これらは、進行方向と逆方向への伝播速度と等しい平面波の波動方程式である。この物理的意味は、電磁波が伝送線路を伝播し、元の波形を妨害する反射成分を生じさせる。これらの方程式は伝送線路の理論の基本となる。 もし、 R {\displaystyle R} と G {\displaystyle G} が無視できない場合、電信方程式は次の形となる。 ∂ 2 V ( x ) ∂ x 2 = Γ 2 V ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}=\Gamma ^{2}V(x)} ∂ 2 I ( x ) ∂ x 2 = Γ 2 I ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}=\Gamma ^{2}I(x)} ただし、 Γ = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) {\displaystyle \Gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}} そして、特性インピーダンスは次の様になる。 Z 0 = R + j ω L G + j ω C {\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}} V ( x ) {\displaystyle V(x)} と I ( x ) {\displaystyle I(x)} の解は次の様になる。 V ( x ) = V − e − Γ x + V + e Γ x {\displaystyle V(x)=V_{-}e^{-\Gamma x}+V_{+}e^{\Gamma x}\,} I ( x ) = I − e − Γ x + I + e Γ x {\displaystyle I(x)=I_{-}e^{-\Gamma x}+I_{+}e^{\Gamma x}\,} 定数 V ± {\displaystyle V_{\pm }} と I ± {\displaystyle I_{\pm }} は境界条件より決定される。パルス電圧 V i n ( t ) {\displaystyle V_{in}(t)\,} が、 x = 0 {\displaystyle x=0} に入力され、 x {\displaystyle x} -の正の方向に進む場合、位置 x {\displaystyle x} における、伝送されたパルス V o u t ( x , t ) {\displaystyle V_{out}(x,t)\,} は、 V i n ( t ) {\displaystyle V_{in}(t)\,} のフーリエ変換、 V ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {V}}(\omega )} を行い、各周波数の項から e − R e ( Γ ) x {\displaystyle e^{-\mathrm {Re} (\Gamma )x}\,} を減じ、その位相に − I m ( Γ ) x {\displaystyle -\mathrm {Im} (\Gamma )x\,} を加え、逆フーリエ変換を行うことで算出可能である。 Γ {\displaystyle \Gamma } の実数項と虚数項は次の式で表される。 R e ( Γ ) = ( a 2 + b 2 ) 1 / 4 cos ( a t a n 2 ( b , a ) / 2 ) {\displaystyle \mathrm {Re} (\Gamma )=(a^{2}+b^{2})^{1/4}\cos(\mathrm {atan2} (b,a)/2)\,} I m ( Γ ) = ( a 2 + b 2 ) 1 / 4 sin ( a t a n 2 ( b , a ) / 2 ) {\displaystyle \mathrm {Im} (\Gamma )=(a^{2}+b^{2})^{1/4}\sin(\mathrm {atan2} (b,a)/2)\,} ただしatan2(英語版記事)は、2つのパラメータを持つタンジェントの逆関数である。 a ≡ ω 2 L C [ ( R ω L ) ( G ω C ) − 1 ] {\displaystyle a\equiv \omega ^{2}LC\left[\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\left({\frac {G}{\omega C}}\right)-1\right]} b ≡ ω 2 L C ( R ω L + G ω C ) {\displaystyle b\equiv \omega ^{2}LC\left({\frac {R}{\omega L}}+{\frac {G}{\omega C}}\right)} 低損失で高インピーダンスの場合、 R / ω L {\displaystyle R/\omega L} と G / ω C {\displaystyle G/\omega C} の項の1次の成分から、次式が導かれる。 R e ( Γ ) ≈ L C 2 ( R L + G C ) {\displaystyle \mathrm {Re} (\Gamma )\approx {\frac {\sqrt {LC}}{2}}\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,} I m ( Γ ) ≈ ω L C {\displaystyle \mathrm {Im} (\Gamma )\approx \omega {\sqrt {LC}}\,} 位相の − ω δ {\displaystyle -\omega \delta } の加算は、時間遅延 δ {\displaystyle \delta } に相当するため、 V o u t ( t ) {\displaystyle V_{out}(t)} は次式の様に簡単に算出できる。 V o u t ( x , t ) ≈ V i n ( t − L C x ) e − L C 2 ( R L + G C ) x {\displaystyle V_{out}(x,t)\approx V_{in}(t-{\sqrt {LC}}x)e^{-{\frac {\sqrt {LC}}{2}}\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)x}\,}
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