分布定数線路の基本方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 00:48 UTC 版)
「分布定数回路」の記事における「分布定数線路の基本方程式」の解説
図で示される部分の電圧・電流分布についての関係を示す以下の2式は分布定数回路における基本方程式である。 − ∂ ∂ x V ( x , t ) = L ∂ ∂ t I ( x , t ) + R I ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+RI(x,t)} − ∂ ∂ x I ( x , t ) = C ∂ ∂ t V ( x , t ) + G V ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GV(x,t)} さらにxで偏微分して ∂ 2 ∂ x 2 V = L C ∂ 2 ∂ t 2 V + ( R C + G L ) ∂ ∂ t V + G R V {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV} ∂ 2 ∂ x 2 I = L C ∂ 2 ∂ t 2 I + ( R C + G L ) ∂ ∂ t I + G R I {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI} を得る。これは「電信方程式（Telegrapher's equations, Telegraphers equations）」と呼ばれる。 さらに上式に e j ω t {\displaystyle e^{j\omega t}} なる電源を印加した時の偏微分方程式の定常解（特殊解）は伝播定数 γ {\displaystyle \gamma } 、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} を導入して V = K 1 e − γ x + K 2 e γ x {\displaystyle V=K_{1}e^{-\gamma x}+K_{2}e^{\gamma x}} I = 1 Z 0 ( K 1 e − γ x − K 2 e γ x ) {\displaystyle I={\frac {1}{Z_{0}}}(K_{1}e^{-\gamma x}-K_{2}e^{\gamma x})} となる。 K 1 {\displaystyle K_{1}} と K 2 {\displaystyle K_{2}} は境界条件によって決まる定数である。 伝播定数 γ {\displaystyle \gamma } 、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} は、 γ = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) {\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}} Z 0 = R + j ω L G + j ω C {\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}} である。さらに、伝播定数 γ {\displaystyle \gamma } の実部である減衰定数 α {\displaystyle \alpha } および、虚部である位相定数 β {\displaystyle \beta } は、以下のようになる。 γ = α + j β = Z Y = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) {\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {ZY}}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}} α = 1 2 ( ( R 2 + ω 2 L 2 ) ( G 2 + ω 2 C 2 ) + ( R G − ω 2 L C ) ) {\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\frac {1}{2}}({\sqrt {(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}}+(RG-\omega ^{2}LC))}}} β = 1 2 ( ( R 2 + ω 2 L 2 ) ( G 2 + ω 2 C 2 ) − ( R G − ω 2 L C ) ) {\displaystyle \beta ={\sqrt {{\frac {1}{2}}({\sqrt {(R^{2}+\omega ^{2}L^{2})(G^{2}+\omega ^{2}C^{2})}}-(RG-\omega ^{2}LC))}}} そして、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} の実部 R 0 {\displaystyle R_{0}} と虚部 X 0 {\displaystyle X_{0}} を求めると以下のようになる。 Z 0 = R + j ω L G + j ω C = R 0 + j X 0 {\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}=R_{0}+jX_{0}} R 0 = 1 2 ( R 2 + ω 2 L 2 G 2 + ω 2 C 2 + R G + ω 2 L C G 2 + ω 2 C 2 ) {\displaystyle R_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}+{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}})}}} X 0 = 1 2 ( R 2 + ω 2 L 2 G 2 + ω 2 C 2 − R G + ω 2 L C G 2 + ω 2 C 2 ) {\displaystyle X_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}-{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}})}}}
※この「分布定数線路の基本方程式」の解説は、「分布定数回路」の解説の一部です。
「分布定数線路の基本方程式」を含む「分布定数回路」の記事については、「分布定数回路」の概要を参照ください。
- 分布定数線路の基本方程式のページへのリンク
