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ディラック共役

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/28 09:43 UTC 版)

ディラック共役（ディラックきょうやく, 英: Dirac adjoint）とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。

定義

ディラック・スピノール $ψ$ のディラック共役 $ψ$ は、次のように定義される:

{\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

ここで $ψ †$ は $ψ$ のエルミート共役、 $γ 0$ はガンマ行列。

ローレンツ変換の下でのスピノール

特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換の表現（英語版）はユニタリーではない。これは一般に

\lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}

として表される。ここで $λ$ は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:

\psi \to \psi '=\lambda \psi

この時スピノール $ψ$ のエルミート共役 $ψ †$ は、次のように変換される:

\psi ^{\dagger }\to \psi '^{\dagger }=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }

そのため、通常のエルミート共役を用いた $ψ † ψ$ はローレンツ・スカラー（英語版）とならない。また $ψ † γ μ ψ$ も自己共役にならない。

ここでディラック共役の定義を用いると、 $ψ$ は次のように変換されることが分かる:

{\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'=\psi '^{\dagger }\gamma ^{0}=\left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}

ここでガンマ行列の公式 $1 = γ 0 γ 0$ とローレンツ代数の公式 $γ 0 λ † γ 0 = λ -1$ を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:

{\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}

この結果、ディラック共役 $ψ$ を用いた $ψ ψ$ は

{\bar {\psi }}\psi \to {\bar {\psi }}'\psi '={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}\lambda \psi ={\bar {\psi }}\psi

とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また $ψ γ μ ψ$ も自己共役となる:

\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)^{\dagger }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

利用法

ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ $J$ を次のように表すことが出来る:

J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

ここで $c$ は光速、 $J$ の成分は密度 $ρ$ と3元確率の流れ $j$ を表す:

{\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})

$μ = 0$ と取り、再びガンマ行列の公式 $1 = γ 0 γ 0$ を用いると、確率密度は次のようになる:

\rho =\psi ^{\dagger }\psi

参考文献

B. Bransden; C. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2nd ed.). Pearson. ISBN 0-582-35691-1
M. Peskin; D. Schroeder (1995). “Chapter.3 The Dirac Field”. An Introduction to Quantum Field Theory (2nd ed.). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2
A. Zee (1995). “Dirac bilinears”. Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd ed.). Princeton University Press. p. 97. ISBN 0-691-01019-6

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