射影作用素

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射影作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/17 18:42 UTC 版)

変換 P は直線 m の上への直交射影

線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影（しゃえい、英: projection）とは、いわゆる射影（投影）を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P² = P を満たすものを言う。ベクトル v の像 Pv を v の射影という。射影作用素はベクトル空間 V を U⊕W と直和分解したときに、V の元 v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写すような変換である。ベクトル空間の次元が無限次元の場合には、連続性を考慮しなければならない。例えばヒルベルト空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

変換 T は k に沿った m の上への射影である。T の値域は m であり、T の零空間は k に等しい。

本項冒頭の導入文で述べたとおり、射影 P は冪等律すなわち P² = P を満たすような線型変換である。

もととなるベクトル空間を W とする。W の部分線型空間 U および V が、それぞれ P の値域および零空間（核）であるものと仮定すると、基本的な性質として

• P は U 上に恒等作用素 I として作用する。つまり、
  ${\displaystyle \forall x\in U,\quad Px=x.}$ カテゴリ