射影作用素

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射影作用素

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/22 10:22 UTC 版)

線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影（しゃえい、英: projection）とは、いわゆる射影（投影）を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P² = P を満たすものを言う。ベクトル v の像 Pv を v の射影という。射影作用素はベクトル空間 V を U⊕W と直和分解したときに、V の元 v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写すような変換である。ベクトル空間の次元が無限次元の場合には、連続性を考慮しなければならない。例えばヒルベルト空間 ${\mathcal {H}}$ における射影作用素とは、${\mathcal {H}}$ 上の有界線型作用素 $P\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ であって、冪等律 P² = P を満たすものを言う。このときさらに自己共役性 P^∗ = P を持つときには直交射影（ちょっこうしゃえい、英: orthogonal projection）という。直交射影のことを単に射影と呼ぶこともある。