超重力理論とは？わかりやすく解説

超重力理論（ちょうじゅうりょくりろん）とは、一般相対論を超対称化した理論、言い方を変えれば局所超対称性の理論である。量子化した際は、単なる一般相対論より紫外発散（英語版）が弱くなるため、量子重力理論の文脈において1980年代初頭に精力的に研究された。超対称性のゲージ理論と考えることもできる。対応するゲージ場がグラヴィティーノである。

概説

素粒子論における粒子の作用やラグランジアンはローレンツ変換に対し不変になるように作られているが、粒子にローレンツ不変性だけを要求した場合、スカラー場やベクトル場などのボゾン場の他に二つの独立なスピノル場を定義することが出来る。超対称性とは、スピノル場（フェルミオン的弦）とボゾン場（ボゾン的弦）の間に対称性が存在する、とする理論である。超場形式では、ボゾン、右手型/左手型フェルミオン、補助場をグラスマン座標の冪で表した「超場（超多重項）」を導入し、超場を用いて作用を構築する。四次元時空座標とグラスマン座標の張る空間を合わせて「超空間」と呼ぶ。標準模型におけるフェルミオンに対する超対称パートナー（超場におけるボゾン場）がスフェルミオン、ベクトル場（ゲージ場）に対する超対称パートナー（超場におけるフェルミオン場）がゲージーノである。

しかし、時空が平坦でない場合（一般座標系の場合）あらゆる時空点で接空間としてしか平坦な座標系（局所ミンコフスキー座標系）を定義することが出来ないため、この局所的に平坦な座標系を変換するローレンツ変換は一般座標の変換に対して変更を受けてしまう。結果、ローレンツ不変性により定義されるフェルミオン場は局所的な場となり、一般座標系の上でフェルミオン場を定義するにはフェルミオン場の定義のズレを補正する補正項（スピン接続項）を導入する必要がある。これを超場形式に拡張した場合、グラスマン座標が局所的に、つまり超対称性が局所対称性となり、対称性を保つために補正項が要求される。超対称変換はボゾン/フェルミオンを変更するので局所的変換に対する補正項は半整数のスピンを稼ぐ場でなくてはならない。これが重力場の超対称パートナーであるグラヴィティーノであり、作用に重力場の超場を含む理論が超重力理論である。

超対称性理論は量子場の理論における輻射補正に現れる二次発散をそれぞれの超対称パートナー同士で打ち消す性質を持っている。他方、重力場の理論は結合定数が負の質量次元を持つゲージ理論であり、くりこみ処方によって全ての発散を吸収しきることは出来ない。つまり通常の場の理論で量子重力理論を構築しようとすると無限の発散が現れてしまい物理的な値の議論が出来なくなってしまう。超対称性はこの発散の内二次発散を取り除くことができるので量子重力理論への足がかりだと考えられていたが、超重力理論を以ってしても全ての発散を取り除くことができないことは自明であり、完全な量子重力理論ではないとする考え方が一般的である。

導入

超対称性理論では広域的な対称性であった超対称性を局所的（ゲージ変換）にする。すなわち、時空の各点で勝手にボソンとフェルミオンを取り替えるような変換Qを考える。ところが、Qは場のスピンを変える演算子であるため、通常のゲージ対称性と異なり空間の対称性と密接な関係を持っている。具体的には、Qは以下のような反交換関係を満たす。

$\{Q_{\alpha },(Q_{\beta }){}^{\dagger }\}=P_{\mu }\gamma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }$ カテゴリ