極小畳み込み
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 04:59 UTC 版)
二つの函数 f と g の極小畳み込み（infimal convolution）は、次で定義される（epi-sum とも呼ばれる）： ( f ◻ g ) ( x ) = inf { f ( x − y ) + g ( y ) ∣ y ∈ R n } . {\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.} f1, …, fm は Rn 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である（が、必ずしも真凸ではない）。さらに次が成立する。 ( f 1 ◻ ⋯ ◻ f m ) ⋆ = f 1 ⋆ + ⋯ + f m ⋆ . {\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.} 二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある：二つの函数の極小畳み込みの（厳密な）エピグラフは、それらの函数の（厳密な）エピグラフのミンコフスキー和（英語版）である。
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