抽象代数学において、I と J が可換環 R のイデアル のとき、それらの イデアル商 （英 : ideal quotient ） I : J とは集合
I
:
J
=
{
r
∈
R
∣
r
J
⊂
I
}
{\displaystyle I:J=\{r\in R\mid rJ\subset I\}}
である[1] I : J ) と書くこともある[2] I : J も R のイデアルである。イデアル商は商と見ることができる、なぜならば
I
J
⊂
K
{\displaystyle IJ\subset K}
I
⊂
K
:
J
{\displaystyle I\subset K:J}
Z において (6) : (3) = (2) が成り立つ。イデアル商は準素分解 の計算に役立つ。また代数幾何 において差集合 の記述で現れる（下記参照）。
I : J はその表記により コロンイデアル （colon ideal）と呼ばれることがある。分数イデアル の文脈では、分数イデアルのインバースに関連した概念がある。
性質 イデアル商は以下の性質を満たす。
R
{\displaystyle R}
I
:
J
=
A
n
n
R
(
(
J
+
I
)
/
I
)
{\displaystyle I:J=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)}
A
n
n
R
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(M)}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
零化イデアル を表す。
J
⊂
I
⇒
I
:
J
=
R
{\displaystyle J\subset I\Rightarrow I:J=R}
I
:
R
=
I
{\displaystyle I:R=I}
R
:
I
=
R
{\displaystyle R:I=R}
I
:
(
J
+
K
)
=
(
I
:
J
)
∩
(
I
:
K
)
{\displaystyle I:(J+K)=(I:J)\cap (I:K)}
I
:
(
r
)
=
1
r
(
I
∩
(
r
)
)
{\displaystyle I:(r)={\frac {1}{r}}(I\cap (r))}
R は整域)
商の計算 上記の性質は多項式環において生成元の与えられたイデアルの商を計算するのに使える。例えば、I = (f 1 , f 2 , f 3 ) and J = (g 1 , g 2 ) が k [x 1 , ..., x n
I
:
J
=
(
I
:
(
g
1
)
)
∩
(
I
:
(
g
2
)
)
=
(
1
g
1
(
I
∩
(
g
1
)
)
)
∩
(
1
g
2
(
I
∩
(
g
2
)
)
)
{\displaystyle I:J=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}
すると elimination theory を I と (g 1 ) や (g 2 ) の共通部分を計算するのに使える。
I
∩
(
g
1
)
=
t
I
+
(
1
−
t
)
(
g
1
)
∩
k
[
x
1
,
…
,
x
n
]
,
I
∩
(
g
2
)
=
t
I
+
(
1
−
t
)
(
g
1
)
∩
k
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}
辞書式順序 に対して tI + (1-t )(g 1 ) のグレブナー基底 を計算せよ。すると t をもたない基底関数は
I
∩
(
g
1
)
{\displaystyle I\cap (g_{1})}
幾何学的解釈 イデアル商は代数幾何 において差集合と関係がある[3]
W がアフィン多様体で V がその（多様体とは限らない）部分集合であれば、
I
(
V
)
:
I
(
W
)
=
I
(
V
∖
W
)
{\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)}
ただし
I
(
∙
)
{\displaystyle I(\bullet )}
I と J が k [x 1 , ..., x n k は代数的閉体で I は根基イデアル であれば、
Z
(
I
:
J
)
=
c
l
(
Z
(
I
)
∖
Z
(
J
)
)
{\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}
ただし
c
l
(
∙
)
{\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )}
ザリスキ閉包 を表し
Z
(
∙
)
{\displaystyle Z(\bullet )}
I が根基でなければ、イデアル J を saturate すれば同じ性質が成り立つ。
Z
(
I
:
J
∞
)
=
c
l
(
Z
(
I
)
∖
Z
(
J
)
)
{\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}
ただし
J
∞
=
J
+
J
2
+
⋯
+
J
n
+
⋯
{\displaystyle J^{\infty }=J+J^{2}+\cdots +J^{n}+\cdots }
参考文献
^ Ene & Herzog 2012, p. 6 ^ Atiyah & MacDonald 1969 ^ David Cox, John Little, and Donal O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra . Springer. ISBN 0-387-94680-2 .
Viviana Ene, Jürgen Herzog: 'Gröbner Bases in Commutative Algebra', AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol 130 (AMS 2012)
M.F.Atiyah, I.G.MacDonald: 'Introduction to Commutative Algebra', Addison-Wesley 1969.
![{\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7224feeac3b4c66f100134d17c5b02af608934)
