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半単純リー代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 10:08 UTC 版)

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数学においてリー代数が半単純であるとは単純リー代数（自分自身と0以外にイデアルを持たないような非可換リー代数）の直和となる事をいう。

この記事内では特に注意しない限り ${\mathfrak {g}}$

単純リー代数は連結ディンキン図形によって分類される。

代数閉体上の半単純リー代数は定義より単純リー代数の直和であり、また単純リー代数は４つの族（A_n、B_n、C_n、D_n）と５つの例外（ E₆、E₇、E₈、F₄、G₂）で尽くされる。単純リー代数は右に示した連結ディンキン図形によって分類され、半単純リー代数は必ずしも連結とは限らないディンキン図形に対応している。

分類はカルタン部分代数(最大可換リー代数)とそれに対する随伴表現を調べることにより進められる。その作用のルート系は元のリー代数を決定し、また強い制約を満たすことからディンキン図形により分類される。

単純リー代数の分類は数学における最もエレガントな結果の一つであると広く考えられており、簡潔ないくつかの公理が比較的短い証明により完全かつ非自明で驚くべき構造を備えた分類を生み出している。これはより複雑な有限単純群の分類とも比較されるべきである。

重複のない単純リー代数の列挙が、 A_n に対し $n\geq 1$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2014年7月）

Bourbaki, Nicolas (2005), “VIII: Split Semi-simple Lie Algebras”, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7–9
Erdmann, Karin; Wildon, Mark (2006), Introduction to Lie Algebras (1st ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0 .
Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Varadarajan, V. S. (2004), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1st ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9 .

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