リー群の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/27 14:50 UTC 版)
リー群の場合には簡約リー群 G はリー代数の言葉を用いて定義される。簡約リー群とはそのリー代数 g が簡約リー代数、つまり可換リー代数と半単純リー代数の直和となるものである。G の連結成分が有限個であるという条件を課す場合もある。 リー代数の簡約性はその随伴表現の完全可約性と同値である。しかしその一般の有限次元表現は必ずしも完全可約ではない。またリー群と代数群では簡約性の概念は必ずしも一致しない。 例えば一次元可換リー代数 R は明らかに簡約であり、簡約代数群 Gm (ゼロでない実数の乗法群) と（簡約でない）冪単代数群 Ga (実数の加法群）の両方のリー代数となっている. これらはリー群としては同型であるが代数群としては同型ではない。
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