リー群論的な側面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:13 UTC 版)
リー群論において、リー代数 𝔤 から対応するリー群 G への指数写像 exp : g → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G} が存在する。行列リー群に対して、𝔤 および G の元は正方行列であり、指数写像は行列の指数関数で与えられる。その逆写像 log := exp−1 は多価であり、本項で扱う行列の対数と一致する。対数写像はリー群 G を付随するリー代数 𝔤 へ写す。ここで、指数写像は零行列 0 ∈ 𝔤 の近傍 U と単位行列 1 ∈ G の近傍 V の間の局所微分同相写像であることに注意する。したがって、（行列の）対数函数は log : V ( ⊂ G ) → U ( ⊂ g ) {\displaystyle \log \colon V_{(\subset G)}\to U_{(\subset {\mathfrak {g}})}} なる写像として矛盾なく定義される。このとき、ヤコビの公式（英語版）の重要な系として log ( det ( A ) ) = tr ( log A ) {\displaystyle \log(\det(A))=\operatorname {tr} (\log A)} が成り立つ。
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