対数
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対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x は真数（しんすう、英: antilogarithm）と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。
通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。
実数の対数 logb x は、底 b が 1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0)[注釈 1] について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある x と b の組に対してただ一つに定まる。
実数の対数関数 logb x は底 b に対する指数関数 bx の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である[1][注釈 2]。
定義
一般には複素数でも定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。
指数関数を用いた定義
1 でない正の実数 a および正の実数 x に対し
- Weisstein, Eric W. "Logarithm". mathworld.wolfram.com (英語).
- Logarithms in nLab
- logarithm - PlanetMath.
- Definition:Logarithm at ProofWiki
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Logarithm of a number”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Logarithm Calculator
- Explaining Logarithms
- Jost Burgi, Swiss Inventor of Logarithms
- Translation of Napier's work on logarithms
- Logarithms - from The Little Handbook of Statistical Practice
- Algorithm for determining Log values for any base
- 『対数』 - コトバンク
対数函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 03:14 UTC 版)
自然対数函数 ln(x) は拡大縮小に関して加法的に振る舞うため斉次函数ではない。 これを見るには、例えば ln ( 5 x ) = ln ( 5 ) + ln ( x ) , ln ( 10 x ) = ln ( 10 ) + ln ( x ) , ln ( 15 x ) = ln ( 15 ) + ln ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(5x)&=\ln(5)+\ln(x),\\\ln(10x)&=\ln(10)+\ln(x),\\\ln(15x)&=\ln(15)+\ln(x)\end{aligned}}} などから、ln(αx) = αkln(x) なる k が存在しないことがわかる。
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