対数函数とは? わかりやすく解説

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たいすう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【対数関数】

読み方:たいすうかんすう

aを1でない正の数とするとき、x正の数として、ylogax定められる関数指数関数逆関数


対数

(対数函数 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/04/26 23:34 UTC 版)

対数(たいすう、: logarithm)とは、ある数 x を数 b冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x対数: logarithm of x to base b; base b logarithm of x)」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x真数(しんすう、: antilogarithm)と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。

通常の対数 logbx は真数 x, 底 b実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。

実数の対数 logb x は、底 b1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0)[注釈 1] について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある xb の組に対してただ一つに定まる。

実数の対数関数 logb xb に対する指数関数 bx の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である[1][注釈 2]

対数関数のグラフの底を変えたときの様子。緑の曲線は底が 10、赤の曲線は底がネイピア数 e ∼ 2.7、紫の曲線は底が 1.7 の対数である(底 10 の対数は常用対数、底 e の対数は自然対数と呼ばれる)。すべての曲線は点 (1, 0) を通り、y 軸を漸近線に持つ。

定義

一般には複素数でも定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。

指数関数を用いた定義

1 でない正の実数 a および正の実数 x に対し


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対数函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/12/29 03:14 UTC 版)

斉次函数」の記事における「対数函数」の解説

自然対数函数 ln(x) は拡大縮小に関して加法的振る舞うため斉次函数ではない。 これを見るには、例えln ⁡ ( 5 x ) = ln ⁡ ( 5 ) + ln ⁡ ( x ) , ln ⁡ ( 10 x ) = ln ⁡ ( 10 ) + ln ⁡ ( x ) , ln ⁡ ( 15 x ) = ln ⁡ ( 15 ) + ln ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(5x)&=\ln(5)+\ln(x),\\\ln(10x)&=\ln(10)+\ln(x),\\\ln(15x)&=\ln(15)+\ln(x)\end{aligned}}} などから、ln(αx) = αkln(x) なる k が存在しないことがわかる。

※この「対数函数」の解説は、「斉次函数」の解説の一部です。
「対数函数」を含む「斉次函数」の記事については、「斉次函数」の概要を参照ください。

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