リー群の型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 14:52 UTC 版)
リー群の分類法の一つは、その代数的な性質によるものである。例えば、単純リー群、半単純リー群、可解リー群、冪零リー群、可換リー群は、その群としての単純性、半単純性、可解性、冪零性、可換性に従った分類である。また、リー群の多様体としての性質による分類もある。連結性やコンパクト性に着目して、連結リー群、単連結リー群、あるいはコンパクトリー群などを考えることができる。 リー群の単位元を含む連結成分（単位成分）は正規閉部分群で、それによる商は離散群である。 リー群の普遍被覆群は単連結リー群である。逆に、連結リー群はかならず、単連結リー群の（その中心に含まれる正規離散部分群による）商として得られる。 コンパクトリー群の分類は終わっており、それは単純コンパクトリー群とトーラス群の直積リー群の有限中心拡大であるか、さもなくば連結なディンキン図形に対応する単純コンパクトリー群であることが知られている。 単連結可解リー群は、ある階数の可逆上三角行列全体のなす群の閉部分群に同型であり、そのような群の有限次元既約表現は 1 次元表現（既約指標）である。可解リー群の分類は、ごくちいさい次元での場合を除けば、非常に厄介なものである。 単連結冪零リー群は、ある階数の対角成分がすべて 1 の可逆上三角行列のなす群の閉部分群に同型である。よってその有限次元既約表現は全て 1 次元である。冪零リー群の分類もやはりごく小さい次元での場合を除いて非常に困難である。 単純リー群という概念は、単に抽象群として単純であることを以ってその定義とする場合もあれば、単純リー環に対応する連結リー群として定義する場合もある。SL2(R) は第二の定義であれば単純であるが、第一の定義では単純でない。いずれの定義に従った場合も、その分類は全て知られている。 半単純リー群は、その付随するリー環が半単純（単純リー環の直積）となる連結群のことである。これは単純リー群の直積の中心拡大として得られる。 連結可換リー群はすべて、ユークリッド空間を加法に関する群と見たものとトーラス群との直積に同型である。
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