群の拡大
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数学において、群の拡大（ぐんのかくだい、英: group extension）は、一般に特定の正規部分群と剰余群を使って群を記述することを意味する。Q および N をふたつの群とするとき、G が N による Q の拡大 (extension) であるとは短完全列
注釈
出典
- ^ group+extension#Definition in nLab Remark 2.2.
- ^ MacLane, Saunders, Homology, p. 103
- ^ Brown & Porter 1996.
- ^ Karpilovsky 1987, pp. 5, 7.
- ^ Karpilovsky 1987, pp. 92, 94.
中心拡大
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群 G の中心拡大とは、短完全列 1 → A → E → G → 1 {\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1} で A が群 E の中心 Z(E) に含まれるものをいう。G が A に自明に作用しているときの G の A による中心拡大の同型類全体の成す集合は、2次コホモロジー群 H2(G, A) と一対一対応する。（因子団（英語版）の項も参照。） 任意の群 G と任意のアーベル群 A を使って、E = A × G とおけば中心拡大の例が得られる。これは分裂型（G を E の部分群と見れば上述した意味での分裂拡大）の例でありとくに面白くは無い（コホモロジー群との対応で言えば、H2(G, A) の元 0 に対応する）ものである。もっとちゃんとした例は射影表現論において射影表現がふつうの線型表現に持ち上げられない場合に見つけることができる。 有限完全群の場合には普遍完全中心拡大が存在する。 群の中心拡大と同様に、リー環の中心拡大も完全列 0 → a → e → g → 0 {\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {g}}\to 0} で、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} が e {\displaystyle {\mathfrak {e}}} の中心に含まれるようなものとして定義される。 Maltsev多様体（英語版）における中心拡大の一般論が存在する(Janeldze & Kelly 2000)。
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