基本的な性質とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/05 22:48 UTC 版)

「芽 (数学)」の記事における「基本的な性質」の解説

f と g が x において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所的な性質を共有し、したがって可微分あるいは解析的芽などについて話すことは意味をなす：部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも x のある近傍上で解析的である。さらに、終域 Y がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： [f]x + [g]x を定義するために、まず近傍 U と V 上でそれぞれ定義された代表元 f と g を取ると、[f]x + [g]x は写像 f + g（ここで f + g は U ∩ V 上定義されている）の x における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。） X から Y への写像の x における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、X と Y が多様体であれば、ジェット（英語版）の空間 J kx (X, Y) （写像（-芽）の x における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:28 UTC 版)

「ウィルティンガーの微分」の記事における「基本的な性質」の解説

この節以降 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} は複素ベクトルであり z ≡ ( x , y ) = ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ) {\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})} ただし x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} は実ベクトルで n ≥ 1 とする。また、部分集合 Ω {\displaystyle \Omega } は ℝ2n あるいは ℂn の領域とする。証明は全て定義1、定義2、そして（常あるいは偏）微分の対応する性質の容易な結果である。

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基本的な性質

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「対数微分」の記事における「基本的な性質」の解説

実の対数の多くの性質は、関数が正の実数に値を取らないときでさえ、対数導関数にも適用する。例えば、積の対数は因子の対数の和であるから、 ( log ⁡ u v ) ′ = ( log ⁡ u + log ⁡ v ) ′ = ( log ⁡ u ) ′ + ( log ⁡ v ) ′ {\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'\!} が成り立つ。そのため正の実数値関数に対して、積の対数微分は因子の対数微分の和である。しかし積の微分に対してはライプニッツの法則を使うこともでき、次を得る ( u v ) ′ u v = u ′ v + u v ′ u v = u ′ u + v ′ v . {\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!} したがって、任意の関数に対して次のことが正しい。積の対数微分は因子の対数微分の和である（定義されているときは）。これの系は関数の逆数の対数微分は関数の対数微分のマイナス1倍である： ( 1 / u ) ′ 1 / u = − u ′ / u 2 1 / u = − u ′ u , {\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!} ちょうど正の実数の逆数の対数は数の対数のマイナス1倍であるように。より一般に、商の対数微分は被除数と除数の対数微分の差である： ( u / v ) ′ u / v = ( u ′ v − u v ′ ) / v 2 u / v = u ′ u − v ′ v , {\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!} ちょうど商の微分は非除数と除数の対数の差であるように。別の方向に一般化して、（実定数の指数による）ベキの対数微分は、指数と、底の対数微分の積である： ( u k ) ′ u k = k u k − 1 u ′ u k = k u ′ u , {\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!} ちょうどベキの対数は指数と底の対数の積であるように。まとめると、微分と対数はともに積の法則、逆数の法則（英語版）、商の法則、そしてベキの法則（英語版）をもつ（list of logarithmic identities（英語版）を比較せよ）。法則の各ペアは対数微分を通して関係している。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/07 15:40 UTC 版)

「ルンゲ＝レンツベクトル」の記事における「基本的な性質」の解説

ルンゲ＝レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点 (perihelion) を結ぶ方向にある。また、その大きさは A = m k e {\displaystyle A=mke} で与えられる。従って、近日点の座標を rp とすると、 A = m k e r p r p {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=mke{\frac {{\boldsymbol {r}}_{p}}{r_{p}}}} と表すことができる。ルンゲ＝レンツベクトルを mk で除したベクトル e = A m k {\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\frac {\boldsymbol {A}}{mk}}} は大きさが軌道離心率 e である一定ベクトルである。このベクトルは離心率ベクトルと呼ばれる。ある時刻 t における系の状態は、位置座標 r = (x, y, z) と運動量 p = (px, py, pz) の6つの座標で表される 6次元の相空間の点として記述され、その時間発展は相空間上の軌道を描く。一般に保存量が存在すれば、相空間の軌道は制限され、自由度が下がる。特に相空間の次元を 2n とすると n 個の独立な保存量が存在すれば、相空間上の軌道は完全に決定される。ケプラー問題において、エネルギーと角運動量ベクトルの3成分、ルンゲ＝レンツベクトルの3成分は保存量である。その総数は7個であり、相空間の次元6より多い。このことはルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトル、エネルギーは互いに独立ではないことを意味する。実際、ルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトルは直交しており、 A ⋅ L = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {0}}} を満たす。また、ルンゲ＝レンツベクトル、角運動量ベクトル、エネルギーは関係式 A 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 {\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}} で結ばれている。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/19 05:23 UTC 版)

「複素指数函数」の記事における「基本的な性質」の解説

x, y は実数として、z = x + yi = |z|earg z と書く。以下の性質は定義から直ちに確認できる: y = 0 のとき明らかに exp (z) = exp (x) = ex は実指数函数であり、したがって複素指数函数は実指数函数の複素変数への拡張である。また特に exp(0) = e0 = 1 が成り立つ。周期性: 任意の複素数 z に対して exp(z + 2πi) = exp (z) が成り立つ。すなわち、複素指数函数は周期（実は基本周期）2πi を持つ周期函数である。一般に任意の整数 n に対して exp(z + 2nπi) = exp (z) が成り立つ。この周期性のために、逆函数となるべき対数函数の複素数への拡張は無限多価となる。絶対値に関して、|exp (z)| = |ex| および |exp(iy)| = 1 が成り立つ。すなわち、複素指数函数の絶対値は引数の実部のみによって決まり、引数の虚部の影響を受けない。また特に任意の z に対して exp (z) ≠ 0 が言える。複素共役に関して、exp (z) = exp (z) が成り立つ。さらに以下の性質は重要である：指数法則：exp (z)⋅exp (w) = exp(z + w) が成り立つ。複素指数函数はコーシー・リーマンの方程式を満たすから複素微分可能であって、d/dz exp (z) = exp (z) が成立する。これらは三角函数の性質から導くこともできるし、級数による定義に対してコーシー積を直接計算しても示せる。あるいは実指数函数の対応する性質に解析接続の一般論を適用しても示せる。

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基本的な性質

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「メルセンヌ数」の記事における「基本的な性質」の解説

Mn が素数ならば n もまた素数であることは、次の式から分かる： 2ab − 1 = (2a − 1)(1 + 2a + 22a + ⋯ + 2(b−1)a). 対偶命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」が示される。また、この等式より、m | n のとき Mm | Mn である。一方、 p が素数でも Mp が素数とは限らない。最小の反例は p = 11 の場合であり、M11 = 2047 = 23 × 89 が成り立つ。 (奇)素数 p に対して Mp が素数であるかどうかは、リュカ-レーマー・テストによって判定できる (#素数判定法節を参照)。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/04 21:42 UTC 版)

「ケイリーグラフ」の記事における「基本的な性質」の解説

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 20:55 UTC 版)

「線型独立」の記事における「基本的な性質」の解説

線型独立であるベクトルたちはどれも、零ベクトルでない。零ベクトルでないベクトル v ≠ o に対して一元集合 {v} は線型独立である。線型独立な集合の部分集合は線型独立である。特に空集合は線型独立である。線型独立な集合は基底に拡張できる。ベクトル空間全体を生成する集合の線型独立な部分集合全体は極大元（=基底）をもつ。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)

「パウリ行列」の記事における「基本的な性質」の解説

パウリ行列は次の性質を満たす。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 01:39 UTC 版)

「パフィアン」の記事における「基本的な性質」の解説

最も基本的な性質は、交代行列 A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式 det ⁡ ( A ) = ( Pf ⁡ ( A ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {det} (A)=(\operatorname {Pf} (A))^{2}} である。また、2n × 2n の交代行列 A と任意の 2n × 2n 行列 B に対して、 Pf ⁡ ( t B A B ) = det ⁡ ( B ) Pf ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pf} ({}^{t}\!BAB)=\operatorname {det} (B)\operatorname {Pf} (A)} が成り立つ。また、任意の n × n 行列 B について、 Pf ⁡ ( 0 B − t B 0 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 det B {\displaystyle \operatorname {Pf} {\begin{pmatrix}0&B\\-{}^{t}\!B&0\end{pmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det B} . が成り立つ。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)

「位相空間」の記事における「基本的な性質」の解説

定義より明らかに次が成立する。命題 ― x ∈ XがAの外点 ⇔ x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ Xが存在し、O ⊂ Ac x ∈ XがAの境界点 ⇔ x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ Xに対し、 A ∪ O ≠ ∅ {\displaystyle A\cup O\neq \emptyset } かつ A c ∪ O ≠ ∅ {\displaystyle A^{c}\cup O\neq \emptyset } x ∈ XがAの触点 ⇔ x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ Xに対し、 A ∩ O ≠ ∅ {\displaystyle A\cap O\neq \emptyset } Xが距離空間であれば、上では「x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ X」、「x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ X」となっているところを、「xのあるε-近傍 B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} 」「xの任意のε-近傍 B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} 」に変えてもよい。これについては基本近傍系について記述する際、より詳しく述べる。さらに次が成立する。命題 ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の任意の部分集合Aに対し次が成立する：内部、境界、外部は、全空間X を排他的に分割する。すなわち、 A ∘ ⊔ Fr ⁡ ( A ) ⊔ A e = X {\displaystyle A^{\circ }\sqcup \operatorname {Fr} (A)\sqcup A^{e}=X} A ∘ ⊂ A ⊂ A ¯ {\displaystyle A^{\circ }\subset A\subset {\bar {A}}} Aの内部、外部は開集合で、境界、閉包は閉集合である。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 07:49 UTC 版)

「平坦射」の記事における「基本的な性質」の解説

平坦射の合成は平坦。平坦射のファイバー積は平坦、忠実平坦射のファイバー積は忠実平坦。平坦性と忠実平坦性は基底変換で保たれる。つまり、 g : Y ′ → Y {\displaystyle g\colon Y'\to Y} に対して、f が平坦または忠実平坦ならファイバー積 f × g : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} もそれぞれ平坦または忠実平坦である。（局所的に有限表示の）射が平坦となる点の集合は開集合。 f が忠実平坦かつ有限表示とする。g f が有限型または有限表示であれば、g もそれぞれ有限型または有限表示である。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} をスキームの平坦射とする。 F を Y 上の有限表示の準連接層（例えば連接層）とし、J を Y 上の F の零化イデアルとする。このとき、包含写像の引き戻し f ∗ J → O X {\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}} は単射で f ∗ J {\displaystyle f^{*}J} の O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} における像は X 上の f ∗ F {\displaystyle f^{*}F} の零化イデアルである。 f が忠実平坦で G を準連接 O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} 加群とする。このとき、大域切断の引き戻し写像 Γ ( Y , G ) → Γ ( X , f ∗ G ) {\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)} は単射である。 h : S ′ → S {\displaystyle h\colon S'\to S} を平坦射とする。X と Y をS スキーム、 X ′ {\displaystyle X'} と Y ′ {\displaystyle Y'} をこれらのhによる基底変換とする。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が準コンパクトかつ支配的ならば、基底変換 f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X'\to Y'} も準コンパクトかつ支配的である。 h が忠実平坦なら、引き戻し写像 Hom S ⁡ ( X , Y ) → Hom S ′ ⁡ ( X ′ , Y ′ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')} は単射である。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が準コンパクトかつ準分離的とする。Z を X の閉像とし、 j : Z → Y {\displaystyle j\colon Z\to Y} を標準的単射とする。このとき、基底変換で定義される閉部分スキーム j ′ : Z ′ → Y ′ {\displaystyle j'\colon Z'\to Y'} は X ′ {\displaystyle X'} の閉像である

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/05 07:58 UTC 版)

「閉作用素」の記事における「基本的な性質」の解説

次の性質が簡単に確かめられる: 全空間 X {\displaystyle X} 上で定義される閉線形作用素は、有界である。これは閉グラフ定理と呼ばれる; もし A {\displaystyle A} が閉であるなら、 A − λ I {\displaystyle A-\lambda I} も閉である。ここで λ {\displaystyle \lambda } はスカラーであり、 I {\displaystyle I} は恒等作用素を表す; もし A {\displaystyle A} が閉であるなら、その核（あるいは零空間）は X {\displaystyle X} の閉部分空間である; もし A {\displaystyle A} が閉かつ単射であるなら、その逆 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} も閉である; 作用素 A {\displaystyle A} に閉包が存在するための必要十分条件は、 D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} 内の任意の列のペア { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} および { y n } {\displaystyle \{y_{n}\}} で、両方とも x {\displaystyle x} に収束し、 { A x n } {\displaystyle \{Ax_{n}\}} および { A y n } {\displaystyle \{Ay_{n}\}} の両方とも収束するようなものに対して、 lim n A x n = lim n A y n {\displaystyle \lim _{n}Ax_{n}=\lim _{n}Ay_{n}} が成立することである。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/10 14:46 UTC 版)

「部分集合」の記事における「基本的な性質」の解説

以下、A, B, C を集合とする。 A = B と A ⊆ B かつ B ⊆ A は同値である（外延性の原理）。空集合 ∅ はすべての集合の部分集合である。 A ⊆ A 。 A ⊆ B かつ B ⊆ C ならば A ⊆ C である。 A ⊆ A ∪ B 。 A ⊆ B ならば A ∪ C ⊆ B ∪ C 。 A ⊆ C かつ B ⊆ C ならば A ∪ B ⊆ C 。 A ∩ B ⊆ A 。 A ⊆ B ならば A ∩ C ⊆ B ∩ C 。 A ⊆ B かつ A ⊆ C ならば A ⊆ B ∩ C 。 A - B ⊆ A 。 A ⊆ B ならば A - C ⊆ B - C 。 A ⊆ B かつ A ⊆ C C ならば A ⊆ B - C 。以下は同値である：A ⊆ B 。 A ∩ B = A 。 A ∪ B = B 。 A − B = ∅ 。 A と B がともに U の部分集合のとき、A ⊆ B と U - B ⊆ U - A は同値である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/02/12 08:39 UTC 版)

「冪零リー環」の記事における「基本的な性質」の解説

すべての冪零リー環は可解である。しかしながら、一般には、逆は成り立たない。例えば、すべての上三角行列からなるリー環は可解だが冪零でない。冪零リー環の部分リー環と商リー環および中心拡大は冪零である。また、有限個の冪零リー環の直積は冪零である。冪零リー環のキリング形式は0である。しかしながら、一般にはこの逆は成り立たない。例えば、n 次正方行列 A が tr(A2) = 0 かつ det A ≠ 0 を満たすとき、半直積は可解だが冪零ではない。冪零リー環は外部自己同型（英語版）を持つ。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:38 UTC 版)

「前加法圏」の記事における「基本的な性質」の解説

各hom 集合 Hom(A,B) は可換群であるので、ゼロ元 0 を持つ。これは、A から B へのゼロ射である。射の合成が双線形であることから、ゼロ射との合成(どちらの向きでも)はまたゼロ射になる。簡単な直観として、合成を乗法のようなものだと思えば、これはゼロとの積がいつでもゼロになることを言っている。この考えを進めると、合成の双線形性は加法に関する乗法の分配法則であることが分かる。前加法圏のひとつの対象 A に注目すると、これらの事実から自己準同型のhom 集合 Hom(A,A) は合成を乗法にとると環になることが分かる。この環はAの自己準同型環である。逆に、全ての(単位元を持つ)環はある前加法圏の自己準同型環である。実際、環 R について、前加法圏 R をただひとつの対象 A を持ち、Hom(A,A) を R とし、合成を環の積とすることで定義することができる。Rは可換群であり乗法は環の双線形(分配法則を満たすこと)であるので、R は前加法圏となる。圏論の研究者は環 R と圏 R を同じものの異なる表現と考えることがよくある。さらに一部のひねくれた研究者は環をちょうどひとつの対象からなる前加法圏であると定義しようとする(モノイドをひとつの対象からなる圏とみなすことと同様である ― そして、環の加法的な構造を忘れるとモノイドになる)。このように、前加法圏は環の一般化であるとみることができる。環論の多くの概念、例えばイデアル、ジャコブソン根基、剰余環はこの設定の下でそのまま一般化可能である。この一般化を行う場合は、前加法圏の射を「一般化された環」の「元」だと考えるとよい。この記事ではこれ以上は踏み込まないことにする。

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基本的な性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/22 20:34 UTC 版)

「次数付き環」の記事における「基本的な性質」の解説

A = ⨁ i ∈ N 0 A i = A 0 ⊕ A 1 ⊕ A 2 ⊕ ⋯ {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots } を次数付き環とする。 A 0 {\displaystyle A_{0}} は A の部分環である。（とくに、加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 は次数 0 の斉次元である。）各 A i {\displaystyle A_{i}} は A 0 {\displaystyle A_{0}} -加群である。可換 N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} -次数付き環 A = ⨁ i ∈ N 0 A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}} がネーター環であるのは、 A 0 {\displaystyle A_{0}} がネーター的かつ A が A 0 {\displaystyle A_{0}} 上の多元環として有限生成であるとき、かつそのときに限る。そのような環に対して、生成元を斉次にとることができる。分解の任意の因子 A i {\displaystyle A_{i}} の元は次数 i の斉次元（homogeneous elements）と呼ばれる。イデアルや他の部分集合 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ⊂ A が斉次（せいじ、homogeneous）であるとは次を満たすことである。任意の元 a ∈ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、すべての ai を斉次元として a=a1+a2+...+an であるときに、すべての ai が a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元である。与えられた a に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、a の斉次部分（homogeneous parts）と呼ばれる。 I が A の斉次イデアルであれば、 A / I {\displaystyle A/I} も次数付き環であり、次の分解をもつ。 A / I = ⨁ i ∈ N 0 ( A i + I ) / I {\displaystyle A/I=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}(A_{i}+I)/I} 任意の（次数付きでない）環 A は A0 = A および i > 0 に対して Ai = 0 とすることによって次数付きにできる。これは A の自明な次数化（trivial gradation）と呼ばれる。