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平坦射

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/06 14:38 UTC 版)

平坦射（へいたんしゃ、英: flat morphism）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキーム $X$ からスキーム $Y$ への射 $f$ であって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、 $X$ のすべての点 $P$ に対して

脚注

^ EGA IV₂, 2.1.1.
^ EGA 0_I, 6.7.8.
^ Sernesi, E. (2010). Deformations of Algebraic Schemes. Springer. pp. 269–279
^ 可換環 $R$ 上の加群 $M$ が平坦であることと任意のイデアル $I$ について $Tor 1 (R / I, M) = 0$ であることは同値である（Stacks Project, Tag 00M5）。このことと、 $ℂ[t]$ は単項イデアル整域なのでイデアルが簡単に分類できることを使ってもわかる。
^ “Flat Morphisms and Flatness”. 2021年11月25日閲覧。
^ $\otimes ^{\mathbf {L} }$ は導来テンソル積（英語版）を表す記号。
^ EGA IV₂, Proposition 2.1.3.
^ EGA IV₂, Corollaire 2.2.11(iv).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(iii).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.1.6.
^ EGA IV₂, Corollaire 2.1.7, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(ii).
^ EGA IV₂, Proposition 2.1.4, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(i).
^ EGA IV₃, Théorème 11.3.1.
^ EGA IV₃, Proposition 11.3.16.
^ EGA IV₂, Proposition 2.1.11.
^ EGA IV₂, Corollaire 2.2.8.
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.7(i).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.2.16.
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.2.
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(i).
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(ii).
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(iii).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(i).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(ii).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(iii).
^ EGA IV₂, Proposition 2.3.6(ii).
^ EGA IV₂, Théorème 2.3.10.
^ EGA IV₂, Théorème 2.4.6.
^ EGA IV₂, Remarques 2.4.8(i).
^ EGA IV₂, Remarques 2.4.8(ii).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.3.12.
^ EGA IV₂, Corollaire 2.3.14.
^ EGA IV₃, Théorème 12.1.6.
^ EGA IV₃, Théorème 12.2.4.
^ EGA IV₂, Corollaire 6.1.2.
^ EGA IV₂, Proposition 6.1.5. $Y$ が正則という仮定は必要である。例えば、 $\mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]$ は、 $X$ が正則、 $Y$ が正規、 $f$ が全射な有限射だが平坦ではない。参考：Generalizing miracle flatness (Matsumura 23.1) via finite Tor-dimension
^ EGA IV₂, Corollaire 6.1.4.
^ EGA IV₂, Corollaire 6.2.2.
^ ^a ^b EGA IV₂, Proposition 2.1.13.
^ EGA IV₃, Proposition 11.3.13.
^ EGA IV₂, Proposition 2.1.14.
^ EGA IV₂, Proposition 2.2.14.
^ EGA IV₂, Corollaire 6.5.2.
^ EGA IV₂, Corollaire 6.5.4.
^ EGA IV₂, Proposition 2.5.1.
^ EGA IV₂, Proposition 2.5.2.
^ EGA IV₂, Proposition 2.6.2.
^ EGA IV₂, Corollaire 2.6.4 and Proposition 2.7.1.
^ EGA IV₂, Remarques 2.7.3(iii).
^ EGA IV₂, Corollaire 2.7.2.
^ EGA IV₂, Remarques 2.7.3(ii).

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