リー群の構造を持つ幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 10:22 UTC 版)
「幾何化予想」の記事における「リー群の構造を持つ幾何学」の解説
結局、3つのリー群の構造を持つ他の幾何学モデルが存在する。これらは、 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} の幾何学の構造、特殊線型群 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} の普遍被覆である。 Nil-幾何学（英語版）(Nilmanifold) Sol-幾何学（英語版）(Solvmanifold) これら 3つの全ては、行列群の上の計量で記述され、群全体 S L 2 R {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\mathbb {R} } は行列式の値が 1 である可逆な 2 × 2 行列の群である。Nil-幾何学は、上三角行列で対角要素 3 x 3 が 1 であるべき零な上の幾何学であり（ハイゼンベルク群も参照）、Sol-幾何学は、上三角な 2 × 2 行列の全てからなる群（可解群）である。 リー群のように、これらの群は作用素の下での不変な計量を持っており、従って、等質である。 群 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} は、単連結空間ではないので、普遍被覆へいくこととなる。このことは、局所的な性質の差異をなくすることから、 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} は、基本モデルであるといわれる。 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 上の計量は、次のように記述される。 P S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )} を実メビウス変換の群であり、等方的な双曲平面は、 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} である。 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} の等方性は、 P S L ( 2 , R ) ≅ U T H 2 {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )\cong UT\mathbb {H} ^{2}} を適用して選択された統一した接ベクトルの像により一意に決まる。すると、長さが 1 である接ベクトルの空間 U T H 2 {\displaystyle UT\mathbb {H} ^{2}} は、誘導された計量 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} を持つことになる。結局、このように構成された P S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )} 上の計量は、普遍被覆 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 上の計量を導く。 この観察は、 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 、つまり、標準化された接バンドルである閉じた双曲曲面をもつ 3-多様体の例となっている。
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