定義および定義からただちに証明されること
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 04:18 UTC 版)
「ベクトル束」の記事における「定義および定義からただちに証明されること」の解説
実ベクトル束は、 底空間（ていくうかん、base space）と呼ばれる位相空間 X および全空間（ぜんくうかん、total space）と呼ばれる位相空間 E 束射影（そくしゃえい、bundle projection）あるいは単に射影と呼ばれる連続写像 π: E → X 任意の x ∈ X に対し、ファイバー π−1({x}) に与えられた実ベクトル空間としての構造 の組であって（ただし、紛れのおそれの無い場合には束射影の記号で代表して、ベクトル束 π: E → X あるいは全空間で代表してベクトル束 E のように呼ぶ）、以下の整合性条件： 任意の x ∈ X に対し、開近傍 U, 正整数 k, 同相写像 ϕ : U × R k → π − 1 ( U ) {\displaystyle \phi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)} が存在し、任意の y ∈ U に対して、 任意の v ∈ Rk に対して π(φ(y, v)) = y かつ 写像 R k → π − 1 ( y ) ; v ↦ ϕ ( y , v ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(y);\,v\mapsto \phi (y,v)} はベクトル空間の同型写像である。 を満たすものである。開近傍 U に同相写像 φ を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化 (local trivialisation) という。局所自明化によって、写像 π が「局所的に見れば」 U × Rk から U の射影である「かのようにみえる」ということが表されている。 任意の x ∈ X に対し、ファイバー π−1(x) は有限次元の実ベクトル空間であり、従って実ベクトル空間としての次元 kx を有する。局所自明性により、関数 X → N ; x ↦ k x {\displaystyle X\to \mathbf {N} ;\,x\mapsto k_{x}} は局所定数であり、従って X の各連結成分の上では一定である。任意の x ∈ X に対し、kx が定数 k に等しいとき、k をベクトル束 E の階数（かいすう、rank）といい、E は階数 k のベクトル束であるという。階数 1 のベクトル束は、直線束 (line bundle) と呼ばれる。階数 2 のベクトル束は稀に平面束 (plane bundle) とも呼ばれる。 直積 X × Rk に自然な射影 X × Rk → X を考えたものはベクトル束であり、X 上の階数 k の自明束（じめいそく、trivial bundle）という。
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