双対錐と極錐

ウィキペディア

双対錐と極錐

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/14 02:13 UTC 版)

ある集合 C とその双対錐 C*

ある集合 C とその極錐 C^o。双対錐と極錐は原点対称である。

双対錐（そうついすい、英: dual cone）と極錐（きょくすい、英: polar cone）は、数学の凸解析の分野において密接に関連する概念である。

双対錐

例えばユークリッド空間 Rⁿ などの、位相的双対 X* を備える線型空間 X に対し、その部分集合 C の双対錐 C* は次の集合で定義される。

${\displaystyle C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}}$

閉凸錐 C の極錐は、閉凸錐 C^o であり、その逆も成り立つ。

X 内のある集合 C に対し、C の極錐は次の集合で定義される^[3]。

${\displaystyle C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$