ケーラーポテンシャル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:13 UTC 版)
「ケーラー多様体」の記事における「ケーラーポテンシャル」の解説
K {\displaystyle K} を複素多様体とする。 ρ ∈ C ∞ ( K ; R ) {\displaystyle \rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )} について、閉(1,1)形式 ω = i 2 ∂ ∂ ¯ ρ {\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho } が正定値である(つまり、ケーラー形式である)とき、 ρ {\displaystyle \rho } を強多重劣調和函数という。 ここに ∂ , ∂ ¯ {\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}} はドルボー作用素である。函数 ρ {\displaystyle \rho } は ケーラーポテンシャル と呼ばれる。 逆に，ポアンカレの補題を使えば、任意のケーラー計量は局所的にこのように表示できる。 すなわち、 ( K , ω ) {\displaystyle (K,\omega )} をケーラー多様体とすると、任意の点 p ∈ K {\displaystyle p\in K} に対して 、 p {\displaystyle p} の近傍 U {\displaystyle U} と函数 ρ ∈ C ∞ ( U , R ) {\displaystyle \rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )} が存在し、 ω | U = i ∂ ∂ ¯ ρ {\displaystyle \omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho } となる。このとき、 ρ {\displaystyle \rho } は （局所）ケーラーポテンシャル と呼ばれる。
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