四元数構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:36 UTC 版)
超ケーラー多様体 M は、計量がケーラーであるということより、複素構造を持つ 2次元球面である（つまり、可積分な概複素構造を持つ）。 特に、そのような多様体は概四元数多様体であり、3つの異なる複素構造 I, J, K が存在し、四元数の関係式 I 2 = J 2 = K 2 = I J K = − 1 {\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1\,} を満たす。実数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} が a 2 + b 2 + c 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,} を満たすとしたときの任意の線型結合 a I + b J + c K {\displaystyle aI+bJ+cK\,} もまた、M 上の複素構造である。特に、接空間 TxM は、各々の点 x で四元数ベクトル空間である。Sp(k) は I, J, K に関して線型である R 4 k = H k {\displaystyle \mathbb {R} ^{4k}=\mathbb {H} ^{k}} の直交変換群と考えることができる。このことから、多様体のホロノミーは Sp(k) に含まれることがわかる。逆に、リーマン多様体 M のホロノミー群が Sp(k) に含まれるならば、複素構造 Ix, Jx, Kx を TxM で選び、TxM を四元数ベクトル空間の中へ写像することができる。これらの複素構造の平行移動は求めている M 上の四元数多様体構造をもたらす。
※この「四元数構造」の解説は、「超ケーラー多様体」の解説の一部です。
「四元数構造」を含む「超ケーラー多様体」の記事については、「超ケーラー多様体」の概要を参照ください。
- 四元数構造のページへのリンク
