四元数の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。 e k = − i σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)} を導入すると、関係式 e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − I {\displaystyle {e_{1}}^{2}={e_{2}}^{2}={e_{3}}^{2}=-I} e 1 e 2 = − e 2 e 1 = e 3 , e 2 e 3 = − e 3 e 2 = e 1 , e 3 e 1 = − e 1 e 3 = e 2 {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}} を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式 i 2 = j 2 = k 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1} i j = − j i = k , j k = − k j = i , k i = − i k = j {\displaystyle ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j} と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像 a 1 + b i + c j + d k ↦ a I + b e 1 + c e 2 + d e 3 ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )} は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は M = { [ a − d i − ( c + b i ) c − b i a + d i ] | a , b , c , d ∈ R } = { ( α β − β ¯ α ¯ ) | α , β ∈ C } {\displaystyle M=\left\{{\begin{bmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\end{bmatrix}}\,{\Biggl |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\,{\Biggl |}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}} であり、H と M は R-多元環として同型である。
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