連結準同型

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蛇の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/11/09 03:23 UTC 版)

蛇の補題（へびのほだい、英: snake lemma）、スネーク・レンマは数学、特にホモロジー代数において、しばしば短完全列から長完全列を構成するために用いられる道具である。蛇の補題はすべてのアーベル圏で有効であり、ホモロジー代数やその応用、例えば代数トポロジーにおいて、広く利用される基本的な道具の一つである。この補題によって構成される準同型は、一般に連結準同型 (connecting homomorphism) と呼ばれる。

補題の主張

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、以下の可換図式

を考える。ただし、2つの行は完全であり、0 は零対象である。 このとき、射 a, b, c の核と余核を結ぶ、以下の完全列が存在する。

$\ker a\;\xrightarrow {f_{*}} \ker b\;\xrightarrow {g_{*}} \ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;\xrightarrow {f'_{*}} \operatorname {coker} b\;\xrightarrow {g'_{*}} \operatorname {coker} c$

において視覚化できる。 補題の結論である完全列 $\ker a\to \ker b\to \ker c\xrightarrow {d} \operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c$

このとき、蛇の補題を「手前」の図式（添字 1）と「奥」の図式（添字 2）それぞれに適用して得られる2つの長完全列（ $\ker a_{1}\to \dots \to \operatorname {coker} c_{1}$

大衆文化において

• 蛇の補題の証明は1980年の映画 It's My Turn の最初にジル・クレイバーグによって教えられている。

関連項目

• en:List of lemmas

参考文献

• Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, p. 157, - Google ブックス)
• M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
• P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, - Google ブックス)

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Snake Lemma”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Snake Lemma at PlanetMath
• Proof of the Snake Lemma in the film It's My Turn