部分対象とは？わかりやすく解説

圏論という数学の分野において，部分対象（ぶぶんたいしょう，英: subobject）は，大まかに言って，同じ圏の別の対象の中にいる対象である．この概念は，集合論における部分集合，群論における部分群，位相空間論における部分位相空間^{[疑問点 – ノート]}などの概念の一般化である^[1]．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する射に依る．

部分対象の双対概念は商対象（しょうたいしょう，英: quotient object）である．これは商集合，商群，商位相空間などの概念を一般化する．

定義

詳しくは， $A$ をある圏の対象とする．余域を $A$ とする2つの単射

u : S \to A

v : T \to A

が与えられたとき， $u \leq v$ とは， $u$ が $v$ を通して分解する（英語版）こととする，つまり，ある $w : S \to T$ が存在して $u=v\circ w$

[1]

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部分対象

定義

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