昇鎖条件と降鎖条件とは? わかりやすく解説

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昇鎖条件と降鎖条件

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 07:21 UTC 版)

エミー・ネーター」の記事における「昇鎖条件と降鎖条件」の解説

この時代ネーター昇鎖条件 (Teilerkettensatz) や降鎖条件 (Vielfachenkettensatz) を巧みに用いたことで有名になった。集合 S の空でない部分集合の列 A1, A2, A3, ... は、各部集合次の部分集合部分集合になっている A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ ⋯ {\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots } ときに通常 ascending と言われる逆に、S の部分集合の列が descending とは、各部集合次の部分集合を含む A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ⋯ {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots } ことをいう。 鎖はある n が存在してすべての m ≥ n に対して An = Am となるようなとき有限個のステップの後停留的になるという。与えられ集合部分集合集まり昇鎖条件満たすとは、任意の昇鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。降鎖条件満たすとは任意の降鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。 昇鎖条件降鎖条件は、多く種類数学的対象適用できるという意味で、一般的であり、一見するとそれほど強力に思われないかもしれないしかしながらネーターそのような条件最大限生かす方法示した例えば、それらを使って部分対象すべての集合極大/極小元を持つこととか複雑な対象少な個数元によって生成できることとかを示す方法である。これらの結論はしばし証明重要なステップである。 抽象代数学対象多く種類は鎖条件を満たすことができ、通常それらが昇鎖条件満たすときそれらは彼女に敬意表してネーター(的)と呼ばれる。定義により、ネーター環はその左と右イデアル対し昇鎖条件満たしネーター群(英語版)は部分群任意の真の昇鎖が有限である群である。ネーター加群部分加群任意の真の昇鎖が有限個のステップでとまる加群である。ネーター空間は開部分空間任意の真の昇鎖が有限個のステップの後にとまる位相空間であり、この定義によりネーター環スペクトルネーター位相空間となる。 鎖条件はしばし部分対象にも「引き継がれる」。例えば、ネーター空間すべての部分空間はそれ自身ネーターであり、ネーター群のすべての部分群商群ネーターであり、必要な変更加えて英語版)同じことがネーター加群部分加群商加群に対して成り立つ。ネーター環すべての商環ネーターであるが、部分環は必ずしもそうでない。鎖条件はまたネーター的対象組み合わせ拡大に対して引き継がれることがある例えば、ネーター環有限直和ネーターであり、ネーター環上の形式冪級数環ネーターである。 そのような条件別の応用は、数学的帰納法一般化であるネーター帰納法整礎帰納法とも呼ばれる)にある。それはしばし対象集まりについての一般的なステートメントをその集まり特定の対象についてのステートメント帰着するために使われる。S を半順序集合としよう。S の対象についての主張証明する1つ方法反例存在仮定し矛盾を導くことによってもとの主張対偶証明することである。ネーター帰納法基本的な前提は S の任意の空でない部分集合極小元を持つことである。特に、すべての反例集合極小元、極小反例を含む。したがって、もとの主張証明するためには、表面はるかに弱い何か:任意の反例に対してより小さ反例存在することを証明すれば十分である。

※この「昇鎖条件と降鎖条件」の解説は、「エミー・ネーター」の解説の一部です。
「昇鎖条件と降鎖条件」を含む「エミー・ネーター」の記事については、「エミー・ネーター」の概要を参照ください。

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