単拡大の行列表現とは? わかりやすく解説

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単拡大の行列表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/11/23 14:46 UTC 版)

単拡大」の記事における「単拡大の行列表現」の解説

すべての単拡大 K(α)/K は K に成分をもつ行列環部分体によって表現することができる。R が α の K 上の最小多項式で M が R の同伴行列であれば、M で生成される部分行列環 K(M) は体であり、写像 K(α) → {\displaystyle \to } K(M); f(α) ↦ {\displaystyle \mapsto } f(M) はすべての多項式 f に対して同型である。 証明 証明のために、まず L = K(α) を基底が 1 = α0, α, ... , αn の K 上のベクトル空間と見ることができること注意する。L のすべての元 t に対して、L のすべての元 x に対し x を tx対応させる写像 φt は L から L への線型同型で、逆写像は x ↦ {\displaystyle \mapsto } x/t である。Mt基底 1, α, ... , αn における φt の行列とする。すると写像 x ↦ {\displaystyle \mapsto } tkx行列Mtk であり、線型性により、f が K に係数をもつ多項式であれば、x ↦ {\displaystyle \mapsto } f(t)x の行列は f(Mt) である。α の K 上の最小多項式を R(X) = a0 + a1X + . . . + an-1 Xn-1 + Xn と書く。t = α であればすべての i < n-1 に対して φt(αi) = αi+1 であり、φt(αn-1) = -a0 - a1α - . . . - an-1 αn-1, したがって Mt基底 (αi) に関して M の同伴行列である。 行列 M はこの性質満たす唯一のものではないことに注意しよう。P-1MP の形のすべての行列もまた明らかにそれを満たすなぜならば f(P-1MP) = P-1f(M) P だからだ。 K が環 A の分数体であり α が A 上整であれば、 R、したがって M は、A に成分をもつことにも注意しよう。環 A[α] は行列環 A[M] によって表現されることが従う。 行列環による単拡大の行列表現は実際的計算計算機代数において有用である、なぜならば演算が行列の演算翻訳されるからだ。とくに、元のトレース対応する行列のトレースであり、K 上のノルム行列行列式等しい。さらに、構成この手順を繰り返して多項式表現でできるように多項式の分解体の構成的表現を得ることができる。このためには多項式既約因子の積への分解アルゴリズム例え基礎体が有理数体代数拡大であればクロネッカーアルゴリズム、を準備すれば十分である。

※この「単拡大の行列表現」の解説は、「単拡大」の解説の一部です。
「単拡大の行列表現」を含む「単拡大」の記事については、「単拡大」の概要を参照ください。

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