単振り子の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/21 23:05 UTC 版)
長さ l {\displaystyle l} の糸の先に質量 m {\displaystyle m} のおもりをつけ、糸の他端を固定してつり下げる。 おもりを少し横に引いて手を放すと、おもりは糸の固定点の真下の振り子のつりあいの位置 Ｏ を中心として往復運動を始める。おもりは糸の上端の固定点を中心とした円周上を運動するから、振り子のつり合いの位置 Ｏ を原点として、円周に沿って x {\displaystyle x} 軸をとると、おもりの運動は x {\displaystyle x} 軸上の一次元の運動と見ることができる。このとき、おもりの運動に関わる力はおもりに働く重力 m g {\displaystyle mg} の円周への接線方向だけである。ここで、重力 m g {\displaystyle mg} の円周への法線方向と糸の張力重力 T {\displaystyle T} は、おもりの運動を円周上に拘束する役割をしている。糸の鉛直方向となす角が θ {\displaystyle \theta } のとき、おもりの x {\displaystyle x} 軸上にかかわる力 F {\displaystyle F} は、 F = − m g sin θ {\displaystyle F=-mg\sin \theta } … (1-2) となる。おもりの座標 x {\displaystyle x} と θ {\displaystyle \theta } は、 θ = x l {\displaystyle \theta ={x \over l}} … (1-3) であるから、おもりについての運動方程式は、 F = − m g sin x l {\displaystyle F=-mg\sin {x \over l}} … (1-4) m a = − m g sin x l {\displaystyle ma=-mg\sin {x \over l}} … (1-5) d 2 x d t 2 = − g sin x l {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-g\sin {x \over l}} … (1-6) ここで、微小角 θ {\displaystyle \theta } について成り立つ近似 sin θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } … (1-7) を用いて、(1-6) 式を変形すると、 d 2 x d t 2 = − g l x {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-{g \over l}x} … (1-8) となる。(1-8) は単振動における運動方程式と同形である。t = 0において θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} 、 θ ˙ = θ ˙ 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}={\dot {\theta }}_{0}} である場合は、θの解は以下のようになる。 θ = C 1 sin ( g l t ) + C 2 cos ( g l t ) {\displaystyle \theta =C_{1}\sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right)+C_{2}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right)} … (1-9) ここで、 C 1 = θ ˙ 0 l g {\displaystyle C_{1}={\dot {\theta }}_{0}{\sqrt {\frac {l}{g}}}} 、 C 2 = θ 0 {\displaystyle C_{2}=\theta _{0}} で、三角関数を合成した場合は、 θ = C 1 2 + C 2 2 sin ( g l t + ϕ ) {\displaystyle \theta ={\sqrt {C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}}\sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\phi \right)} … (1-10) ϕ = arcsin ( C 2 C 1 2 + C 2 2 ) {\displaystyle \phi =\arcsin \left({\frac {C_{2}}{\sqrt {C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}}}\right)} … (1-11) したがって、周期は前節 (1-1) 式のようになる。
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