単振動が現れる系

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単振動が現れる系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/04 21:28 UTC 版)

「単振動」の記事における「単振動が現れる系」の解説

単振動は、物理学全域でさまざまな形で現れる。力学的なものから電磁気学的なものまで、単振動の実例は幅広い。単振動は、振動および波動という現象における最も単純な形であり、なおかつ様々な物理現象を記述する概念として高い重要性を持つ。 単振動が起こる系は調和振動子と呼ばれる。調和振動子の代表例の一つが、質点とばねの系である。重り（質点）がばねで吊り下げられて揺れている系を考える。ばねはフックの法則に従うとする。現実には空気の抵抗などによって振動は次第に止まるが、そのような減衰作用は今は無視する。重りの質量を m、ばねのばね定数を k、吊り下げられた重りが静止している状態からの上下方向変位を δ とする。この重りの運動方程式は m d 2 δ d t 2 = − k δ となる。さらに、両辺を m で割り、k/m = ωn2 とおいて d 2 δ d t 2 = − ω n 2 x と変形する。この式は数学的には定数係数の非同次線形常微分方程式であり、δ の一般解は次のような単振動で与えられる。 δ = A sin ⁡ ( ω n t + ϕ ) その他の単振動の表現（余弦関数と正弦関数の和や複素共役な複素指数関数の和）も、δ の一般解である。この単振動の角振動数 ωn は ω n = k m であるから、揺らし始めるときに重りを最初に動かす量や重力の大きさなどとは無関係に決まっている。ωn は、ばね定数と質量という系に固有の値のみで決まるため、固有角振動数と呼ばれる。一方、振幅 A と初期位相 φ の値は、最初にどのような状態が重りに与えられるかによって決まる。t = 0 で与えられる変位を δ0 、速度を v0 と表せば、A と φ は次のように与えられる。 A = δ 0 2 + ( v 0 ω n ) 2 ϕ = tan − 1 ⁡ ( ω n δ 0 v 0 ) 一般に、ω を正の定数として、 d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0 という形で表される微分方程式は単振動の方程式と呼ばれ、その一般解は単振動となる。dx/dt = v と表すとき、単振動の系は次のようなハミルトニアン H を持つため、系はハミルトン系としての特性を持つ。 H = ω 2 2 x 2 + 1 2 v 2 すなわち、 { d x d t = ∂ H ∂ v d v d t = − ∂ H ∂ x が満たされ、dH/dt が常に 0 より H の値は時間に対して不変である。物理的な系では、ハミルトニアン H は系が持つエネルギーに相当し、H が時間不変であることは単振動がエネルギーを保存しながら運動していることを意味する。 物理学で現れるその他の単振動の例には、振り子、電気回路のLC回路、2原子分子の熱振動などがある。一般的に、保存力を受ける系で、そのポテンシャルエネルギーの極小点近傍で振動していれば、その運動は調和振動子に近似できる。