単振動の合成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/10 17:10 UTC 版)
単振動を2つ以上加え合わせることを単振動の合成という。1つの質点に、平行な2つの単振動の合成を行うとき、この質点の運動は次のように扱うことができる。 始めに振動している質点の運動の解が x 1 = A cos ω 1 t + α {\displaystyle x_{1}=A\,\cos {\omega _{1}t+\alpha }} … (1-16) 別の振動による質点の運動の解が x 2 = B cos ω 2 t + β {\displaystyle x_{2}=B\,\cos {\omega _{2}t+\beta }} … (1-17) これは具体的に、板の上で単振動している質点があり、さらにその板が地面に対して同じ方向に単振動している場合に当たる。この解は一般にかなりの複雑な運動を表すが、角振動数がある特別な整数比になる場合には、比較的簡単な扱いができる。例えば、初期位相が0で振幅と角振動数がいずれも2:3になる場合には、 x 1 = 2 a cos 2 ω t , x 2 = 3 a cos 3 ω t {\displaystyle x_{1}=2a\cos 2\omega t,\,x_{2}=3a\cos 3\omega t} x = 2 a cos 2 ω t + 3 a cos 3 ω t {\displaystyle x=2a\,\cos 2\omega t+3a\,\cos 3\omega t} … (1-18) 2つの単振動の振幅が等しい場合には、(1-17)は x = C cos ω 1 t + α + cos ω 2 t + β {\displaystyle \mathrm {x=C{\cos {\omega _{1}t+\alpha }+\cos {\omega _{2}t+\beta }}} } = 2 C cos ( ω 1 − ω 2 2 t + α − β 2 ) cos ( ω 1 + ω 2 2 t + α + β 2 ) {\displaystyle {}=2C\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)} … (1-19) のように書き換えられる。角振動数がほんのわずかだけ違っている場合には、 | ω 1 − ω 2 | 2 = △ ω , ω 1 + ω 2 2 ≈ ω 1 {\displaystyle {\frac {|\omega _{1}-\omega _{2}|}{2}}=\triangle \omega ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\approx \omega _{1}} … (1-20) となり、因子Δωを含む振動項は非常にゆっくりと振動し、一方の振動項ははじめと同じ振動 ( ω 1 ≈ ω 2 ) {\displaystyle (\omega _{1}\approx \omega _{2})} を続けることとなる。したがって、ゆっくりと振動をする部分のために、うなりという現象が生じる。ちょうど因子Δωを含む振動項の1周期Tの間に2度うなりを感ずるので、はじめの2つの単振動の振動数をそれぞれと γ 1 , γ 2 {\displaystyle \gamma _{1},\,\gamma _{2}} すると、このうなりの振動数fは次式となる。 f = 2 T = 2 ( | ω 1 − ω 2 | 2 1 2 π ) = | γ 1 − γ 2 | {\displaystyle f={\frac {2}{T}}=2\left({\frac {|\omega _{1}-\omega _{2}|}{2}}{\frac {1}{2\pi }}\right)=|\gamma _{1}-\gamma _{2}|} … (1-21)
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