同一方向の重ね合わせ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 02:12 UTC 版)
単振動同士の和を作ることを、単振動の重ね合わせや単振動の合成と呼ぶ。単振動の重ね合わせは、振動・波動の多くの場面で現れる。例えば、自由度 n の線形多自由度系の振動の非減衰自由振動は、単振動の n 個の重ね合わせで表現できる。また、フーリエ級数を使えば、与えられた様々な周期運動を単振動の無限の重ね合わせで表現できる。 2つの単振動する量 x1 と x2 を考える。これらが同一方向（同じ x 軸方向）の振動だとすれば、その重ね合わせは、 x = x 1 + x 2 = A 1 cos ( ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 cos ( ω 2 t + ϕ 2 ) {\displaystyle x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})} となる。単振動を幾何ベクトルとして考えれば、単振動の重ね合わせとは、円運動するベクトル OP1 と円運動するベクトル OP2 の和 OP = OP1 + OP2 を作成して、OP を軸へ射影していることに等しい。上式は、合成や加法定理といった三角関数の公式を用いて下記のように変形できる。 x = A cos ( ω 1 + ω 2 2 t + ϕ 1 + ϕ 2 2 + ψ ) {\displaystyle x=A\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}+\psi \right)} ただし、ここで振幅 A と位相角 ψ は下記のような時間の関数である。 A = A 1 2 + A 1 2 + 2 A 1 A 2 cos [ ( ω 1 − ω 2 ) t + ϕ 1 − ϕ 2 ] {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \left[(\omega _{1}-\omega _{2})t+\phi _{1}-\phi _{2}\right]}}} tan ψ = A 1 − A 2 A 1 + A 2 tan ( ω 1 − ω 2 2 t + ϕ 1 − ϕ 2 2 ) {\displaystyle \tan \psi ={\frac {A_{1}-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}\tan \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}-\phi _{2}}{2}}\right)} 簡単な場合として、2つの単振動の角振動数が同じ (ω1 = ω2) ときは、重ね合わされた振動も単振動になる。このとき、A と ψ は時間依存しない定数になる。2つの単振動の同一角振動数を ω とすれば、重ね合わされた振動も ω の単振動となる。このときの単振動は次式で与えられる。 x = A cos ( ω t + α ) {\displaystyle x=A\cos \left(\omega t+\alpha \right)} A = A 1 2 + A 1 2 + 2 A 1 A 2 cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\phi _{1}-\phi _{2})}}} α = tan − 1 ( A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2 A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 ) {\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}}{A_{1}\cos \phi _{1}+A_{2}\cos \phi _{2}}}\right)} 2つの単振動の角振動数が異なるときは、重ね合わされた振動は複雑な形となり、もはや単振動ではなくなる。2つの単振動の角振動数の比 ω2/ω1 あるいは ω1/ω2 が有理数ならば、重ね合わされた振動は、複雑だがある周期を持った振動である。一方、角振動数の比が無理数ならば、重ね合わされた振動には周期が存在せず、同一波形が繰り返されることのない振動になる。2つの単振動の角振動数の比が近い (ω1 ≈ ω2) 場合は、うなりと呼ばれる振動波形になる。 同一方向の重ね合わせの例（赤点線と青点線が元の単振動、黒実線が合成後の振動） ω1 = ω2（同一値、単振動） ω2/ω1 = √2（無理数、無周期運動） ω2/ω1 = 1.5（有理数、周期運動） ω2/ω1 = 1.1（近い値、うなり）
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