幾何ベクトルとは？わかりやすく解説

空間ベクトル（くうかんベクトル、ドイツ語: Vektor, 英語: vector, ラテン語: vector, 「運搬者、運ぶもの」より）は、大きさと向きを持った量である。ベクタ、ベクターともいう。漢字では有向量^[要出典]と表記される。ベクトルで表される量をベクトル量と呼ぶ。

例えば、速度や加速度、力はベクトルである。平面上や空間内の矢印（有向線分）として幾何学的にイメージされる。ベクトルという用語はハミルトンによってスカラーなどの用語とともに導入された。スカラーはベクトルとは対比の意味を持つ。

この記事では、ユークリッド空間内の幾何ベクトル、とくに3次元のものについて扱い、部分的に一般化・抽象化された場合について言及する。本項目で特に断り無く空間と呼ぶときは、3次元実ユークリッド空間のことを指す。

数学的な記述

空間内に二つの点 S と T をとり、S から T へ向かう線分を有向線分と呼ぶ。S を始点（してん、initial point, source, しっぽ）、T を終点（しゅうてん、terminal point, target, あたま）と呼び、向きの区別のために終点 T の側の端に山を書いて線分を矢印にする。

ある点 S に向きと大きさを持った量 v が作用しているとき、v の作用と同じ向きで、長さが v の作用の大きさに比例するように有向線分 ${\overrightarrow {ST}}$

ベクトルのスカラー倍

あるベクトル a と同じ方向で大きさの比率（スカラー）が k であるようなベクトルを ka と表す。また、a と同じ大きさで逆の向きを持つベクトルは −a と表す。同様に、a と逆の向きを持ち大きさの比率が k であるようなベクトルは −ka と記す。これをベクトル a のスカラー k 倍あるいは単にスカラー倍（スカラー乗法）と呼ぶ。

二つのベクトル a, b の和 a + b を、それらの始点を合わせたときにできる平行四辺形の（始点を共有する）対角線に対応するベクトルと定める（三つ以上のベクトルの和も、二つの和をとる演算から帰納的に定める）。a, b がどんなものであっても a + b = b + a が成り立っていることに注意されたい。

また逆に、あるベクトルを二つ（以上）の異なるベクトルの和に分解することができる。特にxyz-空間の各軸の方向で長さ 1 の有向線分に対応するベクトル（基本ベクトル、単位ベクトル）を x, y, z の各軸でそれぞれ i, j, k と置くと、任意のベクトル v は

\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}

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