形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 08:06 UTC 版)
一般の場合、u = f(x1, x2, ..., xn) の変数xi (1 ≤ i ≤ n) に関する偏微分または偏導関数とは、Rn のある領域 D の各点において極限 lim Δ x i → 0 f ( x 1 , … , x i + Δ x i , … , x n ) − f ( x 1 , … , x i , … , x n ) Δ x i {\displaystyle \lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+\Delta x_{i},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}}} が存在するとき、その極限として得られる D 上の関数のことをいい ∂ f ∂ x = f x = ∂ x f = u x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=u_{x}} などであらわす。他に使われている変数を明示するときは ( ∂ f ∂ x ) y , z , ∂ x f ( x , y , z ) , u x | x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z},\quad \partial _{x}f(x,y,z),\quad u_{x}|_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}} などの記法が使われる
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/29 03:15 UTC 版)
ニュートラル淡中圏とは、K-ベクトル空間の圏への忠実充満なK-テンソル関手を備えたリジッド-アーベル-テンソル圏である。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 09:47 UTC 版)
状況を定式化するために、特性関数型ゲームの概念を導入する。プレイヤーの集合 N {\displaystyle N} および関数を v : P ( N ) → ℜ {\displaystyle v\;:\;{\mathcal {P}}(N)\;\to \Re } へ定義する。こうしてプレイヤーの部分集合から実数への関数（特性関数という）は以下の性質をもつ。 v ( ∅ ) = 0 {\displaystyle v(\varnothing )=0} v ( S ∪ T ) ≥ v ( S ) + v ( T ) {\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)} ここで S {\displaystyle S} と T {\displaystyle T} は N {\displaystyle N} の任意の非交の（交わりが空集合の）部分集合である。 関数 v {\displaystyle v} の性質は以下のとおりである。もしも S {\displaystyle S} がプレイヤーの提携で、協力に合意している場合、 v ( S ) {\displaystyle v(S)} はその提携からの総報酬の期待値を示す。このときの v ( S ) {\displaystyle v(S)} の値は S {\displaystyle S} 以外のプレイヤーの行動とは独立に決まる。 不等式で示される第二の条件 v {\displaystyle v} の優加法性とは、二つのグループ（単独でもよい）が協働することで報酬の総和が増えることはあっても減ることはないという性質を表す。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/17 15:40 UTC 版)
「SKIコンビネータ計算」の記事における「形式的な定義」の解説
SKIコンビネータ論理の項は次の規則により帰納的に定義される： 定数記号（ここではS、K、I）及び変数記号は項である。この形の項を原子（atom）という。 M と N が項ならば, (MN)は項である。この形の項を適用（application）という。 以上より項とわかるもののみを項という。 変数記号を含まない項を閉項といい、SKIのみから構成される項を結合子（コンビネータ）という。適用は左結合であるものとし、括弧を省略するのが普通である。SKIコンビネータ計算は次の簡約規則 S M N R → M R ( N R ) {\displaystyle {\boldsymbol {S}}MNR\to MR\left(NR\right)} K M N → M {\displaystyle {\boldsymbol {K}}MN\to M} I M → M {\displaystyle {\boldsymbol {I}}M\to M} からなる項書換え系である。矢印の左辺の形をリデックス、右辺の形をコントラクタムという。矢印によって移る項の変形をweak簡約という。簡約関係の同値閉包をweak同値性といい、普通、等号を用いて表す。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 04:30 UTC 版)
集合 A と体 K 上の n-次元ベクトル空間 V の組 (A, V) が K 上の n-次元アフィン空間であるとは、次の 3 条件が成り立つときにいう。 任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、 P Q → = a {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}=\mathbf {a} } を満たす Q ∈ A はただ一つ存在する。これを Q = Ta(P) あるいは Q = P + a と記し、a が定める写像 Ta : A → A を a の定める平行移動という。 任意の a, b ∈ V に対し、 T b ∘ T a = T a + b {\displaystyle T_{\mathbf {b} }\circ T_{\mathbf {a} }=T_{\mathbf {a} +\mathbf {b} }} が成り立つ。すなわち、任意の点 P ∈ A に対し、(P + a) + b = P + (a + b) が成り立つ。 A の任意の二点 P, Q の組 (P, Q) に対し、Q = P + a を満たす a ∈ V がただ一つ定まる。これを a = P Q → {\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}} と表す。これを（Q = P + a が成り立つことを示唆して）a = Q − P と表すこともある。 このとき、A をアフィン空間 (A, V) の台集合とよび、V を付随するベクトル空間、随伴ベクトル空間、同伴なベクトル空間などとよび、V = V(A) あるいは V = Vect(A) などと表す。また、V の元を A のあるいは A 上の幾何ベクトルとも呼ぶ。 紛れのおそれが無いならば、アフィン空間 (A, V) を単に台集合 A のみで表し、アフィン空間 A などと呼ぶことがある。 定義から、平行移動作用 T: A × V → A; (P, a) → P + a により、V は A に推移的に作用すること、各 a に対し作用素 Ta は V から A への全単射を与えることなどがわかる。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/04 04:43 UTC 版)
一般的に、近似による誤差については、相対誤差と絶対誤差を区別して考える。 真の値 v とその近似 vapprox に対して、その絶対誤差εは ϵ = | v − v approx | {\displaystyle \epsilon =|v-v_{\text{approx}}|} で定義される。ここで、縦棒|·|は絶対値を表す記号である。 次に、 v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} の場合、相対誤差ηは η = ϵ | v | = | v − v approx v | = | 1 − v approx v | {\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|} 、誤差百分率δは、 δ = 100 % × η = 100 % × ϵ | v | = 100 % × | v − v approx v | {\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times {\frac {\epsilon }{|v|}}=100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|} と定義できる。つまり、絶対誤差とは真の値と近似値の差の大きさ（英語版）そのもので、相対誤差とは絶対誤差を真の値で割ったものということになる。これは真の値に対する絶対誤差の割合と言い換えることもでき、誤差百分率は相対誤差を百分率で表したものである。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 20:23 UTC 版)
この節では、チューリング機械を形式的（formal）に記述する。 あるチューリング機械は次の 7 {\displaystyle 7} つ組 M = ⟨ Q , Γ , b , Σ , δ , q i n i t , q a c c ⟩ {\displaystyle M=\langle Q,{\mathit {\Gamma }},b,{\mathit {\Sigma }},\delta ,q_{\mathrm {init} },q_{\mathrm {acc} }\rangle } で定義される。 Q は有限集合であり、その元を状態という。 Γ は Q に交わらない有限集合であり、字母とよばれる。その元を記号という。 b は Γ の元であり、空白記号とよばれる。 Σ は Γ - {b} の部分集合であり、入力字母とよばれる。その元を入力記号という。 δ は Q × Γ から Q × Γ × {left, right} への写像であり、遷移函数とよばれる。δ(q, a) = (q', a', m) は、「現在の状態が q であり、着目位置にある記号が a であれば、状態を q' に移し、着目位置に記号 a' を書き込んでから、着目位置を m 方向に1つずらす」と読む。 qinit は Q の元であり、初期状態とよばれる。 qacc は Q の元であり、受理状態とよばれる。 M の状況とは、 Γ ∪ Q {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\cup Q} 上の（片側）無限列のうち、Q の元がちょうど1度現れ、また b 以外の記号が有限回しか現れないものをいう。遷移函数 δ は、状況から状況への写像を自然に定める。M が文字列 x ∈ Σ ∗ {\displaystyle x\in \Sigma ^{*}} を受理するとは、状況 q i n i t x b b ⋯ {\displaystyle q_{\mathrm {init} }xbb\cdots } にこの写像を有限回施すことで状況 q a c c b b ⋯ {\displaystyle q_{\mathrm {acc} }bb\cdots } が得られることをいう。その最小回数を M の x に対する実行時間とよぶ。その過程における状況中の q の最右位置を、M が x に対して使用する記憶領域量という。 M が言語 L ⊆ Σ ∗ {\displaystyle L\subseteq {\mathit {\Sigma }}^{*}} を認識するとは、M が L の元のみをみな受理することをいう。そのようなチューリング機械 M が存在するとき、L は帰納可枚挙（recursively enumerable）あるいは計算可枚挙（computably enumerable）であるという。L と Σ ∗ ∖ L {\displaystyle {\mathit {\Sigma }}^{*}\setminus L} がともに帰納可枚挙であるとき、Lは帰納的（recursive）あるいは決定可能（decidable）であるという。 より精細に、自然数から自然数への写像 t に対し、M が L を時間計算量［ないし空間計算量］t で認識するとは、M が L を認識し、かつ各 x ∈ L {\displaystyle x\in L} に対する M {\displaystyle M} の実行時間［ないし記憶領域量］が t ( | x | ) {\displaystyle t(\left|x\right|)} 以下であることをいう。ここで | x | {\displaystyle \left|x\right|} は文字列 x の長さを表す。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
随伴関手の定義はさまざまな方法がある。これらの同値性は基本的な事実であるが自明ではないため非常に有用である。この記事ではいくつかの定義を与える。 普遍射を用いた定義は書くのが簡単で、随伴関手を構成したり、随伴であることを証明する場合に必要な検証項目が少ない。最適化に対する直観にもっとも近い方法である。 余単位-単位随伴を用いた定義は随伴関手であることが分かっている関手に関係する証明を書くのに便利である、なぜなら、直接操作できる公式を持つからである。 hom集合を用いた定義はもっとも対称性がわかりやすい、これが随伴という単語を使う理由である。 随伴関手は数学の全ての分野に現れる。これらの定義が持つ構造を他の定義が持つ構造に持ち上げるためには長いが明らかな証明が必要であり、このことが随伴を完全に有用なものにしている。随伴の各定義を行き交うことは、各分野で繰り返し行われてきた退屈な部分を暗黙に使っていることになる。例えばcounitが終対象であり自然であることから全ての右随伴関手が極限を保存することを証明できる。
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形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/29 03:08 UTC 版)
非常に大雑把に説明すると、依存型は添字づけられた集合の族によって与えられると考えることができる。より形式的には、 A : U {\displaystyle A:{\mathcal {U}}} を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} (型のなす宇宙)に属する型としたときに、型のなす族 B : A → U {\displaystyle B:A\to {\mathcal {U}}} を考えることができる。すなわち、 A {\displaystyle A} に属する値 a : A {\displaystyle a:A} それぞれについて、型 B ( a ) : U {\displaystyle B(a):{\mathcal {U}}} が割り当てられているのである。終域が引数に応じて変化する関数は依存関数と呼ばれ、このような関数のための型は依存型、依存積型、あるいはΠ型と呼ばれる。この例では、依存積型は Π ( x : A ) B ( x ) {\displaystyle \Pi _{(x:A)}B(x)} あるいは Π ( x : A ) , B ( x ) {\displaystyle \Pi (x:A),B(x)} と表記される。 もしBが定数関数 B ( x ) = C {\displaystyle B(x)=C} であるなら、依存積型は通常の関数型(矢印型) A → C {\displaystyle A\to C} となる。つまり、 Π ( x : A ) B {\displaystyle \Pi _{(x:A)}B} は型判定において関数型 A → C {\displaystyle A\to C} と等しい。 Π型という名前は、依存積型が型の直積と見なせるという考え方に由来している。依存積型は全称量化のモデルとして理解することもできる。 例えば、実数の n {\displaystyle n} 個の対を Vec ( R , n ) {\displaystyle {\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)} と表記するとき、 Π ( n : N ) Vec ( R , n ) {\displaystyle \Pi _{(n:{\mathbb {N} })}{\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)} は、自然数nを受け取りn個の実数の対を返す関数の型である。通常の関数空間は、依存積型で戻り値の型が実際には引数に依存しない特別な場合としてあらわれる。例えば、 Π ( n : N ) R {\displaystyle \Pi _{(n:{\mathbb {N} })}\;{\mathbb {R} }} は自然数から実数への関数の型であり、単純型付きラムダ計算では N → R {\displaystyle {\mathbb {N} }\to {\mathbb {R} }} と表記される。 型多相な関数は依存関数(すなわち、依存積型をもつ関数)の重要な例である。多相関数は、型を与えられると、その型を含む型を持つ値として振る舞う。例えば、恒等関数、すなわち任意の型Aに対し a : A {\displaystyle a:A} を受け取りaをそのまま返す関数、の型は、 Π ( A : U ) A → A {\displaystyle \Pi _{(A:{\mathcal {U}})}A\to A} と書くことができる。
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