単振動の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/10 17:10 UTC 版)
バネに支えられる質点の運動を考える。原点 Ｏ をバネの重力とのつり合い長さ時にとり、上方向を x 軸正方向とする。このとき物体には、(1-1) の力が働く。ここで、ニュートンの運動方程式 F = m a {\displaystyle \mathrm {F=ma} } より、 m a = m d v d t = m d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle ma=m{dv \over dt}=m{d^{2}x \over dt^{2}}=-kx} … (1-5) 両辺をmで割ると、 d 2 x d t 2 = − k m x {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-{k \over m}x} … (1-6) (1-6) 式の x を満たす関数としては、 x = − sin k m t {\displaystyle x=-\sin {\sqrt {\frac {k}{m}}}t} … (1-7) x = cos k m t {\displaystyle x=\cos {\sqrt {\frac {k}{m}}}t} … (1-8) の二つの特殊解が考えられる。線型微分方程式の性質から、この 2 つの特殊解を線形結合させた x = A sin k m t + B cos k m t {\displaystyle x=A\sin {\sqrt {\frac {k}{m}}}t+B\cos {\sqrt {\frac {k}{m}}}t} … (1-9) も、(1-6) の解であり、方程式が 2 階であることと (1-7),(1-8) の一次独立性から、これ以外の解はない。つまり (1-9) が (1-6) の一般解である。ここで、 ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}} と定めると、(1-9) 式は、 x = A sin ω t + B cos ω t {\displaystyle x=A\,\sin \omega t+B\,\cos \omega t} … (1-10) ここで三角関数の合成を利用すると、(1-10) 式は、 cos ϕ = A A 2 + B 2 , sin ϕ = B A 2 + B 2 {\displaystyle \cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\ \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}} を満たした φ を用いて、 x = A 2 + B 2 sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(\omega t+\phi )} … (1-11) とあらわされる。ここで、 A 2 + B 2 = C {\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=C} とすると、(1-11)は、 x = C sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=C\,\sin(\omega t+\phi )} … (1-12) となる。ここで(1-12)の各数値はそれぞれ以下のような物理量である。 C；振幅 … 物体の最大の変位の絶対値 ω；角振動数（固有振動数） φ；初期位相 よって、(1-12)であらわされる単振動の x-t グラフを描くと、図 1-5 のような正弦曲線を描く。 初期位相によって時刻 0 のときの物体の位置が決まる。このグラフの場合は以下の通り。 初期位相 − π 2 {\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}} … 時刻 0 のときの座標 -C 初期位相 0 {\displaystyle {0}} … 時刻 0 のときの座標 0 {\displaystyle 0} 初期位相 π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} … 時刻 0 のときの座標 C
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