単振り子の等時性の破れ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/21 23:05 UTC 版)
.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}} 振幅が大きい場合の単振り子のアニメーションθ0が増加するほど周期が長くなっている 等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では d θ / d t = θ ˙ {\displaystyle d\theta /dt={\dot {\theta }}} と表記する。 角度の状態遷移を表す微分方程式が m l θ ¨ + m g sin θ = 0 {\displaystyle ml{\ddot {\theta }}+mg\sin \theta =0} であることは簡単に導出される。これにエネルギーを考慮するため、両辺に l θ ˙ {\displaystyle l{\dot {\theta }}} をかけ、 t = 0 {\displaystyle t=0} において θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} 、 θ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}=0} であったとして t {\displaystyle t} について 0 {\displaystyle 0} から t {\displaystyle t} まで積分すると 1 2 m ( l θ ˙ ) 2 − m g l cos θ = − m g l cos θ 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left(l{\dot {\theta }}\right)^{2}-mgl\cos \theta =-mgl\cos \theta _{0}} ． ここで ω = g / l {\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}} と置き上式を変形すると θ ˙ 2 = 2 ω 2 ( cos θ − cos θ 0 ) {\displaystyle {\dot {\theta }}^{2}=2\omega ^{2}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)} ． さらに cos θ = 1 − 2 sin 2 ( θ / 2 ) {\displaystyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}\left(\theta /2\right)} を用い上式を変形すると θ ˙ = ± 2 ω sin 2 ( θ 0 / 2 ) − sin 2 ( θ / 2 ) {\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm 2\omega {\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}} ． このとき右辺にtが陽に現れていないため、t=0に θ = 0 {\displaystyle \theta =0} となるように時間シフトを行うことができる。 上式を用い θ = 0 {\displaystyle \theta =0} から θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} となる時刻を計算すると t = 1 2 ω ∫ 0 θ 0 d θ sin 2 ( θ 0 / 2 ) − sin 2 ( θ / 2 ) {\displaystyle t={\frac {1}{2\omega }}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}}} ． この値の4倍にあたる4tが振り子の周期である。 sin ( θ 0 / 2 ) = a {\displaystyle \sin(\theta _{0}/2)=a} 、 sin ( θ / 2 ) = a sin ϕ {\displaystyle \sin(\theta /2)=a\sin \phi } と置換すると周期は T = 4 ω ∫ 0 π / 2 d ϕ 1 − a 2 sin 2 ϕ = 4 ω K ( a ) {\displaystyle T={\frac {4}{\omega }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {1-a^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {4}{\omega }}K(a)} ． ただし K {\displaystyle K} は第一種完全楕円積分である。マクローリン展開すると周期Tは次式となる。 T = 2 π ω [ 1 + ( 1 2 ) 2 a 2 + ( 1 2 3 4 ) 2 a 4 + ( 1 2 3 4 5 6 ) 2 a 6 + ⋯ ] = 2 π ω [ 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 θ 0 2 + ( 1 2 3 4 ) 2 sin 4 θ 0 2 + ( 1 2 3 4 5 6 ) 2 sin 6 θ 0 2 + ⋯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}a^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}a^{4}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}a^{6}+\dotsb \right]\\&={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\dotsb \right]\end{aligned}}} ． すなわち、重りを離す角度θ0が大きくなれば周期Tは長くなる（等時性の破れ）。 θ 0 → 0 {\displaystyle \theta _{0}\to 0} とすると T = 2 π / ω {\displaystyle T=2\pi /\omega } となり、 sin θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } と近似した時の解と一致する。
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