第一種完全楕円積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 03:48 UTC 版)
第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} までとしたものである。 K ( k ) = F ( π 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 1 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta } k 2 sin 2 θ {\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta } のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると K ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2 θ ) − 1 2 d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( k 2 sin 2 θ ) n n ! ) d θ = π 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! k 2 n ∫ 0 π / 2 sin 2 n θ d θ = π 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! k 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! π 2 = π 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{-{\frac {1}{2}}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\\\end{aligned}}} となる。ただし、 ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} と定義する。
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