ルジャンドルの標準形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 03:48 UTC 版)
最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数 t = sin θ {\displaystyle t=\sin {\theta }} と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。 F ( φ , k ) = ∫ 0 φ d θ 1 − k 2 sin 2 θ E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 θ d θ Π ( a ; φ , k ) = ∫ 0 φ d θ ( 1 − a sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\E(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~d\theta \\\Pi (a;\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{(1-a\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\end{aligned}}}
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