数学的な記述とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/30 16:46 UTC 版)

「アニュラス」の記事における「数学的な記述」の解説

開アニュラスは円柱側面（円筒） S1 × (0,1) や穴あき平面（英語版） R2 ∖ {(0, 0)} に同相である。アニュラスの面積は半径 R の大きい円の面積から半径 r の小さい円の面積を引いたものである： A = π R 2 − π r 2 = π ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2}).} アニュラスの面積はアニュラスの中に完全に置ける最長の線分の長さ（添付図の 2d）から得られる。これはピタゴラスの定理によって証明できる。アニュラスの中に完全に置ける最長の線分は小さい円に接し、その点における半径と直角をなす。したがって d と r は斜辺 R の直角三角形の残りの辺の長さであり、面積は次で与えられる： A = π ( R 2 − r 2 ) = π d 2 . {\displaystyle A=\pi (R^{2}-r^{2})=\pi d^{2}.} 面積は微分積分学によっても計算できる。アニュラスを幅 dρ、面積 2πρdρ の無限個の無限小アニュラスに分割し、ρ = r から ρ = R まで積分する： A = ∫ r R 2 π ρ d ρ = π ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,d\rho =\pi (R^{2}-r^{2}).} θ ラジアンに対する "扇形"（円環扇形）の面積は A = θ 2 ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}(R^{2}-r^{2}).}

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/30 17:46 UTC 版)

「シュワルツの鏡像の原理」の記事における「数学的な記述」の解説

定理の最も基本的な形を正確に述べれば以下のようになる。 U ⊂ C を領域とし、U± = {z ∈ U | ±Im z > 0}, I = U ∩ R とおく。 U は実軸に関して対称、すなわち { z ¯ ∣ z ∈ U } = U {\displaystyle \{{\bar {z}}\mid z\in U\}=U} が成り立つとする。 f: U+ ∪ I → C を U+ 上正則であるような連続関数とし、I 上常に実数値を取るものとする。このとき f は D 上の正則関数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} に拡張（解析接続）でき、 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は f ~ = { f ( z ) z ∈ U + ∪ I f ( z ¯ ) ¯ z ∈ U − {\displaystyle {\tilde {f}}={\begin{cases}f(z)&z\in U_{+}\cup I\\{\overline {f({\bar {z}})}}&z\in U_{-}\end{cases}}} と書ける。

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 09:15 UTC 版)

「レムニスケート周率」の記事における「数学的な記述」の解説

通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 ϖ（オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形）で表され、実際の数値は、 ϖ = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539) （小数点以下30 桁まで）である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、（円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に）レムニスケート周率の倍の値となる。レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。すなわち、次の式により求めることができる。 ϖ = 2 ∫ 0 1 d r 1 − r 4 = 2 K ( 1 2 ) = Γ ( 1 4 ) 2 2 3 / 2 π 1 / 2 {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{2^{3/2}\pi ^{1/2}}}} ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示 r 2 = cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta \,} の r である。なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。 π = 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 2 {\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 23:15 UTC 版)

「オイラー方程式 (流体力学)」の記事における「数学的な記述」の解説

オイラー方程式は D v D t = ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ grad ⁡ p + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\boldsymbol {g}}} で表される。ここで v は流体の速度場、ρ は密度場、p は圧力場で、g は流体の質量当たりにかかる外力場（加速度場）である。これはナビエ-ストークス方程式から粘性項を省いたものと同じである。ベクトル解析の公式から、流体の渦度 ω = rot ⁡ v {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}} で ( v ⋅ ∇ ) v = 1 2 grad ⁡ ( v 2 ) − v × ω {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (v^{2})-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}} と変形されるので、オイラー方程式は ∂ v ∂ t + 1 2 grad ⁡ ( v 2 ) + 1 ρ grad ⁡ p − g = v × ω {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (v^{2})+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p-{\boldsymbol {g}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}} となる。さらに密度が圧力だけで決まる順圧の場合には圧力関数 P ( p ) = ∫ d p ρ {\displaystyle P(p)=\int {\frac {dp}{\rho }}} を導入すれば 1 ρ grad ⁡ p = grad ⁡ P {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p=\operatorname {grad} P} と表される。外力が重力のような保存力である場合には、外力のポテンシャルを Λ として g = − grad ⁡ Λ {\displaystyle {\boldsymbol {g}}=-\operatorname {grad} \Lambda } であり、オイラー方程式は ∂ v ∂ t + grad ⁡ ( v 2 2 + P + Λ ) = v × ω {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+P+\Lambda \right)={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}} となる。

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 23:01 UTC 版)

「モレラの定理」の記事における「数学的な記述」の解説

モレラの定理では、複素平面内のある連結開集合 D 上で定義される連続な複素数値函数 f で、D 内のすべての区分的 C1 閉曲線 γ に対して ∮ γ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0} を満たすものは、必ず D 上で正則であると述べられている。モレラの定理の仮定は、f が D 上に原始関数を持つことと同値である。この定理の逆は一般には成り立たない。正則函数は、付加的な仮定が課されない限り、その定義域上に不定積分を持つとは必ずしも言えない。例えば定義域が単連結であれば、そのような逆は成立する。これは、閉曲線に沿った正則函数の線積分はゼロであることを述べたコーシーの積分定理による。一方、区分的 C1 級閉曲線の代わりに内部および周が D に含まれる三角形の境界に限っても定理は成り立ち、さらに逆も成り立つ（後述）。こちらもモレラの定理と呼ばれる。

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 20:50 UTC 版)

「単位ベクトル」の記事における「数学的な記述」の解説

二つのベクトル a, e があって、e が単位ベクトル（ | e | = 1 {\displaystyle |\mathbf {e} |=1} ）であるならば、二つのベクトルのなす角を θ とおけば、 a ⋅ e = | a | cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} =|\mathbf {a} |\cos \theta } となって、a の e 方向の成分を取り出すことができる。ベクトルを分解してある特定方向の成分だけを調べるのに、単位ベクトルを用いれば内積の代数的計算に結びつけることができるのである。単位ベクトルは、e などで表されることが多い。力学や電磁気などの理工学的な分野などではベクトル r に対して、r と同方向の単位ベクトルを r ^ = r | r | = r r {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}} などと表す。ここで、 r = | r | {\displaystyle r=|\mathbf {r} |} は r の長さ。また、曲線や曲面に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えたとき、主な方向へ向かう単位ベクトルとして接線単位ベクトル（単位接ベクトル）、法線単位ベクトル（単位法ベクトル）、従法線単位ベクトル（単位従法ベクトル）などが挙げられる。そのベクトルの絶対値が 1 であることを表すために「単位ベクトル」という語が付されている。 n 次元ベクトル空間に基底をとれば座標として数ベクトル空間が現れるから、n 個の一次独立な単位ベクトル e 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) , e 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) , … , e n = ( 0 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}} が取れる。 xyz-空間を扱うときには、x, y, z の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i, j, k と記すことが慣習である。これらを用いて空間ベクトル r は r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} } と表せる。大きさや r 方向の単位ベクトルはそれぞれ | r | = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} r ^ = 1 | r | ( x i + y j + z k ) = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {r}} &={\frac {1}{|\mathbf {r} |}}(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\\&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\mathbf {k} \end{aligned}}}

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数学的な記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 22:52 UTC 版)

「シャノンの通信路符号化定理」の記事における「数学的な記述」の解説

定理 (Shannon, 1948): 1. 任意の無記憶通信路について、通信路容量 C = sup p X I ( X ; Y ) {\displaystyle \ C=\sup _{p_{X}}I(X;Y)} は次の特性を持つ。任意の ε > 0 および R < C について、N が充分に大きい場合、ブロックエラーの最大確率が ≤ ε となるような、長さ N 、レート ≥ R の符号と復号アルゴリズムが存在する。 2. ビットの誤り率 pb が許容可能である場合、 R(pb) までのレートが達成可能である。ここで、 R ( p b ) = C 1 − H 2 ( p b ) {\displaystyle R(p_{b})={\frac {C}{1-H_{2}(p_{b})}}} であり、 H 2 ( p b ) {\displaystyle H_{2}(p_{b})} は二値エントロピー関数で、 H 2 ( p b ) = − [ p b log 2 ⁡ p b + ( 1 − p b ) log 2 ⁡ ( 1 − p b ) ] {\displaystyle H_{2}(p_{b})=-\left[p_{b}\log _{2}{p_{b}}+(1-p_{b})\log _{2}({1-p_{b}})\right]} である。 3. 任意の pb について、 R(pb) より大きいレートは達成できない。