数学的な説明とは? わかりやすく解説

数学的な説明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/10 00:11 UTC 版)

ラジオシティ」の記事における「数学的な説明」の解説

ラジオシティ法考え方根底には熱輻射考え方があり、場面構成する小平面間での光エネルギー遷移計算している。計算単純にするため、ラジオシティ法では全ての光の拡散ランバート反射に基づくと考える。すなわちある光拡散面に入射した場合拡散後の光は全ての方向均等な明るさ反射される考える。また小平面は四角形あるいは三角形ポリゴンであるとし、その平面群に対して多項式定義されるこのようにして場面小平面群に分解すると、光エネルギー遷移反射面反射性質および2つ小平面間の角関係によって計算することができる。この無次元量2つの面の向きから計算され、ある平面から放出された光が他の平面にどの程度到達するかを表すことができる。より詳しく言えば放射発散度Bは小平面上単位平面から単位時間放出される光エネルギー表しており、これは光の放射エネルギー反射エネルギーによって次のように表現される。 B ( x ) d A = E ( x ) d A + ρ ( x ) d AS B ( x ′ ) 1 π r 2 cos ⁡ θ x cos ⁡ θ x ′ ⋅ V i s ( x , x ′ ) d A ′ {\displaystyle B(x)\,\mathrm {d} A=E(x)\,\mathrm {d} A+\rho (x)\,\mathrm {d} A\int _{S}B(x'){\frac {1}{\pi r^{2}}}\cos \theta _{x}\cos \theta _{x'}\cdot \mathrm {Vis} (x,x')\,\mathrm {d} A'} B(x)dAi - xの近傍である小領域dAiから放出される光エネルギー E(x)dA - 放射エネルギー。 ρ(x) - 点xにおける反射度であり、単位平面あたりの反射光エネルギー入射光エネルギーの積であらわされる。 S - x平面全体について積分したものr - 点xと点x'との距離。 θx, θx' - 点xと点x'とを結んだ直線各々の点が存在する平面とが作る角。 Vis(x, x') - 点xと点x'が互いに見えている場合には1を、見えてない場合には0を取る関数可視関数とも言う)。 平面有限小平面による集合として与えられる場合には、連続量してあらわされていた方程式差分式の形で書き直せる。すなわち各々小平面が持つ放射発散度Bi反射度をρiとあらわして次のように書く。 B i = E i + ρ i ∑ j = 1 n F i j B j {\displaystyle B_{i}=E_{i}+\rho _{i}\sum _{j=1}^{n}F_{ij}B_{j}} Fijは面iと面jとの間の角関係を表す。この方程式各々小平面に対し計算可能である。この方程式モノクロ画像のためのものであるので、カラー画像を扱う場合には色を構成するチャネルそれぞれについてこの方程式を解く必要がある

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数学的な説明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/29 14:34 UTC 版)

直交周波数分割多重方式」の記事における「数学的な説明」の解説

N {\displaystyle N} 個のサブキャリア使われ、さらにそれぞれのサブキャリアが M {\displaystyle M} 選択シンボル変調されている時、OFDMシンボル基礎M N {\displaystyle M^{N}} 結合されシンボルから成り立つ。 等価ベースバンドOFDM信号次のように表現される。   ν ( t ) = ∑ k = 0 N − 1 X k e j 2 π k t / T , 0 ≤ t < T , {\displaystyle \ \nu (t)=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{j2\pi kt/T},\quad 0\leq t<T,} { X k } {\displaystyle \{X_{k}\}} : データシンボル N {\displaystyle N} : サブキャリア数 T {\displaystyle T} : OFDMシンボル長 周波数 1 / T {\displaystyle 1/T} 間隔配置されサブキャリア全て同一OFDMシンボル内で直交している。この固有性は以下のように表される。 1 T ∫ 0 T ( e j 2 π k 1 t / T ) ∗ ( e j 2 π k 2 t / T ) d t = 1 T ∫ 0 T e j 2 π ( k 2 − k 1 ) t / T d t = δ k 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(e^{j2\pi k_{1}t/T}\right)^{*}\left(e^{j2\pi k_{2}t/T}\right)dt\\=&{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{j2\pi (k_{2}-k_{1})t/T}dt=\delta _{k_{1}k_{2}}\end{aligned}}} ( ⋅ ) ∗ {\displaystyle (\cdot )^{*}} : 複素共役 δ {\displaystyle \delta \,} : クロネッカーのデルタ マルチパスフェージング伝送路によるシンボル間干渉避けるために、長さ T g {\displaystyle Tg} のガードインターバルOFDMシンボル前に挿入される。このガードインターバルにサイクリック・プレフィクスが使用される。つまり、 − T g ≤ t < 0 {\displaystyle -T_{\mathrm {g} }\leq t<0} における信号は ( T − T g ) ≤ t < T {\displaystyle (T-T_{\mathrm {g} })\leq t<T} における信号同一である。cyclic prefix用いたOFDM信号は以下のように表せる。   ν ( t ) = ∑ k = 0 N − 1 X k e j 2 π k t / T , − T g ≤ t < T {\displaystyle \ \nu (t)=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{j2\pi kt/T},\quad -T_{\mathrm {g} }\leq t<T} 上記ベースバンド信号実数または複素数どちらかになる。実数値のみの等価ベースバンド信号一般的にベースバンド伝送用いられるDSLのような有線アプリケーションはこのアプローチ使われる無線アプリケーションでは、等価ベースバンド信号一般的に複素数の値をとる。この場合送信信号搬送周波数 f c {\displaystyle f_{c}} にアップコンバージョンされる。一般に送信信号次のように表すことができる。 s ( t ) = ℜ { ν ( t ) e j 2 π f c t } = ∑ k = 0 N − 1 | X k | cos ⁡ ( 2 π [ f c + k / T ] t + arg ⁡ [ X k ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\Re \left\{\nu (t)e^{j2\pi f_{c}t}\right\}\\&=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|\cos \left(2\pi [f_{c}+k/T]t+\arg[X_{k}]\right)\end{aligned}}}

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数学的な説明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/16 05:02 UTC 版)

「うなり」の記事における「数学的な説明」の解説

最も簡単な場合として、強さ位相等し二つサイン波合成考える。角振動数ωを中心に前後に幅 2αだけ角振動数がずれた二つの音 sin (ω-α)t と sin (ω+α)t (t は時間)を合成すると、合成音は次のうになる式の変形三角関数参照)。 sin ⁡ ( ω − α ) t + sin ⁡ ( ω + α ) t = ( sin ⁡ ω t cos ⁡ α t − cos ⁡ ω t sin ⁡ α t ) + ( sin ⁡ ω t cos ⁡ α t + cos ⁡ ω t sin ⁡ α t ) = ( 2 cos ⁡ α t ) ⋅ sin ⁡ ω t {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\omega -\alpha )t+\sin(\omega +\alpha )t\\&=(\sin \omega t\cos \alpha t-\cos \omega t\sin \alpha t)+(\sin \omega t\cos \alpha t+\cos \omega t\sin \alpha t)\\&=(2\cos \alpha t)\cdot \sin \omega t\end{aligned}}} この結果合成音は角振動数ωの音の振幅が、角振動数 2αで変動するような波形となる。

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