数学的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/10 00:11 UTC 版)
ラジオシティ法の考え方の根底には熱輻射の考え方があり、場面を構成する小平面間での光エネルギーの遷移を計算している。計算を単純にするため、ラジオシティ法では全ての光の拡散がランバート反射に基づくと考える。すなわちある光が拡散面に入射した場合、拡散後の光は全ての方向に均等な明るさで反射されると考える。また小平面は四角形あるいは三角形のポリゴンであるとし、その平面群に対して多項式が定義される。 このようにして場面を小平面群に分解すると、光エネルギーの遷移は反射面の反射性質および2つの小平面間の角関係によって計算することができる。この無次元量は2つの面の向きから計算され、ある平面から放出された光が他の平面にどの程度到達するかを表すことができる。より詳しく言えば、放射発散度Bは小平面上の単位平面から単位時間に放出される光エネルギーを表しており、これは光の放射エネルギーと反射エネルギーによって次のように表現される。 B ( x ) d A = E ( x ) d A + ρ ( x ) d A ∫ S B ( x ′ ) 1 π r 2 cos θ x cos θ x ′ ⋅ V i s ( x , x ′ ) d A ′ {\displaystyle B(x)\,\mathrm {d} A=E(x)\,\mathrm {d} A+\rho (x)\,\mathrm {d} A\int _{S}B(x'){\frac {1}{\pi r^{2}}}\cos \theta _{x}\cos \theta _{x'}\cdot \mathrm {Vis} (x,x')\,\mathrm {d} A'} B(x)dAi - xの近傍である小領域dAiから放出される光エネルギー E(x)dA - 放射エネルギー。 ρ(x) - 点xにおける反射度であり、単位平面あたりの反射光のエネルギーと入射光のエネルギーの積であらわされる。 S - xを平面全体について積分したもの。 r - 点xと点x'との距離。 θx, θx' - 点xと点x'とを結んだ直線と各々の点が存在する平面とが作る角。 Vis(x, x') - 点xと点x'が互いに見えている場合には1を、見えていない場合には0を取る関数（可視関数とも言う）。 平面が有限の小平面による集合として与えられる場合には、連続量としてあらわされていた方程式が差分式の形で書き直せる。すなわち各々の小平面が持つ放射発散度をBi、反射度をρiとあらわして次のように書く。 B i = E i + ρ i ∑ j = 1 n F i j B j {\displaystyle B_{i}=E_{i}+\rho _{i}\sum _{j=1}^{n}F_{ij}B_{j}} Fijは面iと面jとの間の角関係を表す。この方程式は各々の小平面に対し計算可能である。この方程式はモノクロ画像のためのものであるので、カラー画像を扱う場合には色を構成するチャネルそれぞれについてこの方程式を解く必要がある。
※この「数学的な説明」の解説は、「ラジオシティ」の解説の一部です。
「数学的な説明」を含む「ラジオシティ」の記事については、「ラジオシティ」の概要を参照ください。
数学的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 14:34 UTC 版)
「直交周波数分割多重方式」の記事における「数学的な説明」の解説
N {\displaystyle N} 個のサブキャリアが使われ、さらにそれぞれのサブキャリアが M {\displaystyle M} 選択シンボルで変調されている時、OFDMシンボル基礎は M N {\displaystyle M^{N}} 結合されたシンボルから成り立つ。 等価ベースバンドOFDM信号は次のように表現される。 ν ( t ) = ∑ k = 0 N − 1 X k e j 2 π k t / T , 0 ≤ t < T , {\displaystyle \ \nu (t)=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{j2\pi kt/T},\quad 0\leq t<T,} { X k } {\displaystyle \{X_{k}\}} : データシンボル N {\displaystyle N} : サブキャリア数 T {\displaystyle T} : OFDMシンボル長 周波数 1 / T {\displaystyle 1/T} 間隔で配置されたサブキャリアは全て同一OFDMシンボル内で直交している。この固有性は以下のように表される。 1 T ∫ 0 T ( e j 2 π k 1 t / T ) ∗ ( e j 2 π k 2 t / T ) d t = 1 T ∫ 0 T e j 2 π ( k 2 − k 1 ) t / T d t = δ k 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(e^{j2\pi k_{1}t/T}\right)^{*}\left(e^{j2\pi k_{2}t/T}\right)dt\\=&{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{j2\pi (k_{2}-k_{1})t/T}dt=\delta _{k_{1}k_{2}}\end{aligned}}} ( ⋅ ) ∗ {\displaystyle (\cdot )^{*}} : 複素共役 δ {\displaystyle \delta \,} : クロネッカーのデルタ マルチパスフェージング伝送路によるシンボル間干渉を避けるために、長さ T g {\displaystyle Tg} のガードインターバルがOFDMシンボルの前に挿入される。このガードインターバルにサイクリック・プレフィクスが使用される。つまり、 − T g ≤ t < 0 {\displaystyle -T_{\mathrm {g} }\leq t<0} における信号は ( T − T g ) ≤ t < T {\displaystyle (T-T_{\mathrm {g} })\leq t<T} における信号と同一である。cyclic prefixを用いたOFDM信号は以下のように表せる。 ν ( t ) = ∑ k = 0 N − 1 X k e j 2 π k t / T , − T g ≤ t < T {\displaystyle \ \nu (t)=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{j2\pi kt/T},\quad -T_{\mathrm {g} }\leq t<T} 上記のベースバンド信号は実数または複素数のどちらかになる。実数値のみの等価ベースバンド信号は一般的にベースバンド伝送に用いられる。DSLのような有線アプリケーションはこのアプローチが使われる。無線アプリケーションでは、等価ベースバンド信号は一般的に複素数の値をとる。この場合、送信信号は搬送周波数 f c {\displaystyle f_{c}} にアップコンバージョンされる。一般に、送信信号は次のように表すことができる。 s ( t ) = ℜ { ν ( t ) e j 2 π f c t } = ∑ k = 0 N − 1 | X k | cos ( 2 π [ f c + k / T ] t + arg [ X k ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\Re \left\{\nu (t)e^{j2\pi f_{c}t}\right\}\\&=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|\cos \left(2\pi [f_{c}+k/T]t+\arg[X_{k}]\right)\end{aligned}}}
※この「数学的な説明」の解説は、「直交周波数分割多重方式」の解説の一部です。
「数学的な説明」を含む「直交周波数分割多重方式」の記事については、「直交周波数分割多重方式」の概要を参照ください。
数学的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 05:02 UTC 版)
最も簡単な場合として、強さも位相も等しい二つのサイン波の合成を考える。角振動数ωを中心に、前後に幅 2αだけ角振動数がずれた二つの音 sin (ω-α)t と sin (ω+α)t （t は時間）を合成すると、合成音は次のようになる（式の変形は三角関数を参照）。 sin ( ω − α ) t + sin ( ω + α ) t = ( sin ω t cos α t − cos ω t sin α t ) + ( sin ω t cos α t + cos ω t sin α t ) = ( 2 cos α t ) ⋅ sin ω t {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\omega -\alpha )t+\sin(\omega +\alpha )t\\&=(\sin \omega t\cos \alpha t-\cos \omega t\sin \alpha t)+(\sin \omega t\cos \alpha t+\cos \omega t\sin \alpha t)\\&=(2\cos \alpha t)\cdot \sin \omega t\end{aligned}}} この結果、合成音は角振動数ωの音の振幅が、角振動数 2αで変動するような波形となる。
※この「数学的な説明」の解説は、「うなり」の解説の一部です。
「数学的な説明」を含む「うなり」の記事については、「うなり」の概要を参照ください。
- 数学的な説明のページへのリンク
