数学的な詳細
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/16 21:21 UTC 版)
STVGは作用原理を用いて定式化される。以下の計量の符号は [ + , − , − , − ] {\displaystyle [+,\ -,\ -,\ -]} を使う。光速は c = 1 {\displaystyle c=1} とし、リッチテンソルは次のように定義される。 R μ ν = ∂ α Γ μ ν α − ∂ ν Γ μ α α + Γ μ ν α Γ α β β − Γ μ β α Γ α ν β {\displaystyle R_{\mu \nu }=\partial _{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \nu }^{\beta }} まずEinstein-Hilbert Lagrangianから始める。 L G = − 1 16 π G ( R + 2 Λ ) − g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{G}=-{\frac {1}{16\pi G}}\left(R+2\Lambda \right){\sqrt {-g}}} ここで R {\displaystyle R} はリッチテンソルのトレース、 G {\displaystyle G} は重力定数の変化、 g {\displaystyle g} は計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} の行列式、 Λ {\displaystyle \Lambda } は宇宙定数である。 STVGのベクトル場、すなわちファイオン場 ϕ μ {\displaystyle \phi _{\mu }} はプロカ方程式のラグランジアンにより導くことが出来る。 L ϕ = − 1 4 π ω [ 1 4 B μ ν B μ ν − 1 2 μ 2 ϕ μ ϕ μ + V ϕ ( ϕ ) ] − g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\phi }=-{\frac {1}{4\pi }}\omega \left[{\frac {1}{4}}B^{\mu \nu }B_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi _{\mu }\phi ^{\mu }+V_{\phi }(\phi )\right]{\sqrt {-g}}} ここで B μ ν = ∂ μ ϕ ν − ∂ ν ϕ μ {\displaystyle B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\phi _{\nu }-\partial _{\nu }\phi _{\mu }} であり、 μ {\displaystyle \mu } はファイオン場の有効質量、 ω {\displaystyle \omega } はファイオン場と物質の相互作用、 V ϕ {\displaystyle V_{\phi }} は自己相互作用ポテンシャルである。 この理論の3定数 G {\displaystyle G} と μ {\displaystyle \mu } と ω {\displaystyle \omega } はラグランジアン密度に関連した運動とポテンシャルの項を導入することにより、スカラー場となる。 L S = − 1 G [ 1 2 g μ ν ( ∇ μ G ∇ ν G G 2 + ∇ μ μ ∇ ν μ μ 2 − ∇ μ ω ∇ ν ω ) + V G ( G ) G 2 + V μ ( μ ) μ 2 + V ω ( ω ) ] − g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{S}=-{\frac {1}{G}}\left[{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\left({\frac {\nabla _{\mu }G\nabla _{\nu }G}{G^{2}}}+{\frac {\nabla _{\mu }\mu \nabla _{\nu }\mu }{\mu ^{2}}}-\nabla _{\mu }\omega \nabla _{\nu }\omega \right)+{\frac {V_{G}(G)}{G^{2}}}+{\frac {V_{\mu }(\mu )}{\mu ^{2}}}+V_{\omega }(\omega )\right]{\sqrt {-g}}} ここで ∇ μ {\displaystyle \nabla _{\mu }} は計量 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} に関して共変微分を表し、一方 V G {\displaystyle V_{G}} と V μ {\displaystyle V_{\mu }} と V ω {\displaystyle V_{\omega }} はスカラー場に関する自己相互作用ポテンシャルである。
※この「数学的な詳細」の解説は、「修正重力理論」の解説の一部です。
「数学的な詳細」を含む「修正重力理論」の記事については、「修正重力理論」の概要を参照ください。
- 数学的な詳細のページへのリンク
