ウォリスの公式を用いて
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
「ガウス積分」の記事における「ウォリスの公式を用いて」の解説
ウォリス積分における公式を用いて証明することができる。 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} で 1 − x 2 ≤ e − x 2 ≤ 1 1 + x 2 {\displaystyle 1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq {\frac {1}{1+x^{2}}}} が成り立つことを、微分法により示す 自然数 n に対して ∫ 0 π / 2 sin 2 n + 1 θ d θ < ∫ 0 ∞ e − n t 2 d t < ∫ 0 π / 2 sin 2 n − 2 θ d θ {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}\theta \,d\theta <\int _{0}^{\infty }e^{-nt^{2}}\,dt<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-2}\theta \,d\theta } が成り立つことを示す ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 n ∫ 0 ∞ e − n t 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2{\sqrt {n}}\int _{0}^{\infty }e^{-nt^{2}}\,dt} は n → ∞ のとき √π に収束することをウォリスの公式により示す
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