ウォリス積分におけるウォリスの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/21 16:03 UTC 版)
「ウォリス積分」の記事における「ウォリス積分におけるウォリスの公式」の解説
lim m → ∞ m ∫ 0 π 2 sin m θ d θ = lim m → ∞ m ∫ 0 π 2 cos m θ d θ = π 2 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}} 証明 — 先述の漸化式より ( m + 1 ) I m + 1 I m = m I m I m − 1 {\displaystyle (m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}} が成り立つ。故に数列 { m I m I m − 1 } {\displaystyle \{mI_{m}I_{m-1}\}} は定数列で m I m I m − 1 = I 1 I 0 = π 2 . {\displaystyle mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.} ∴ I m I m − 1 = π 2 m . {\displaystyle \therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.} ここで、 0 ≤ θ ≤ π 2 {\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}} で sin m + 1 θ ≤ sin m θ ≤ sin m − 1 θ {\displaystyle \sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta } より I m + 1 ≤ I m ≤ I m − 1 I m + 1 I m ≤ I m 2 ≤ I m I m − 1 m m + 1 ⋅ π 2 ≤ m I m 2 ≤ π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} lim m → ∞ m I m = π 2 . {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.} m = 2n を代入すると先述の I 2 n {\displaystyle I_{2n}} の求値より lim n → ∞ n ⋅ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}} lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
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