単振り子の固有振動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)
単振り子は微小振動をしているとき水平面内で単振動をしているとみなすことができる。おもり(質点とみなす)の質量をm、糸の長さをℓとする。糸が鉛直線となす角度θが十分小さいとき、水平方向にx軸をとると変位は x = l sin θ ≈ l θ {\displaystyle x=l\sin \theta \approx l\theta } … (2-1) 水平方向の力は F = − m g sin θ ≈ − m g θ {\displaystyle F=-mg\sin \theta \approx -mg\theta } … (2-2) 物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、ニュートンの運動方程式は m d 2 x d t 2 = F {\displaystyle m{d^{2}x \over dt^{2}}=F} … (2-3) である。(2-1)、(2-2)、(2-3)から − m g θ = m l d 2 θ d t 2 {\displaystyle -mg\theta =ml{d^{2}\theta \over dt^{2}}} d 2 θ d t 2 = − g l θ {\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}={-{g \over l}\theta }} … (2-4) を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は θ = A sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle \theta =A\,\sin(\omega t+\phi )} … (2-5) となる。ただし A , ω , ϕ {\displaystyle A,\omega ,\phi } は定数で ω = g l {\displaystyle \omega ={\sqrt {g \over l}}} である。このときのωが単振り子の固有角振動数である。
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