単拡大の表現多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/23 14:46 UTC 版)
体論の基本的な定理の1つは、P(X) が K 上の既約多項式であれば、商環 A=K[X]/(P)、ただし (P) は K[X] において P で生成されるイデアル、は体であるというものである。さらに、P が K の拡大 L で根 α をもてば、体 K(α) は A に同型である。この実際的意味は次のようである。n = deg(P) としてせいぜい次数 n - 1 の多項式で単拡大 K (α) の元を表すことが常にできる。K (α) の二元の和は対応する多項式の和に、積は多項式の積 mod P （これはユークリッド除法によって多項式の積を P で割りその余りをとることを意味する）に翻訳される。 例えば、P(X) = X2 + 1 であれば、虚数 i が C において P の根であることを知っている。今見たことから、C は a + b X の形の多項式の集合に同型である。この写像による i の像は X であり、a + ib の像は a + bX である。複素数の計算のルールはこの表現と同じであることを確かめよう。 まず a+ib + a'+ib' = (a+a' ) + i (b+b' ) であり同時に a+bX + a'+b'X = (a+a' ) + (b+b' )X である。さらに、 (a+ib)(a'+ib' ) = (aa'-bb' ) + i(ab'+ba' ) であり同時に (a+bX)(a'+b'X) = (aa'+bb'X2) + (ab'+ba' )X である。しかし P(X) = X2+1 であるので、X2 を P で割った余りは -1 である。(a+bX)(a'+b'X) を P で割った余りは (aa'-bb' )+(ab'+ba' )X であることが従い、これはちょうど上記複素数の積と対応している。
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