多項式表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/10 05:38 UTC 版)
「離散フーリエ変換 (一般)」の記事における「多項式表現」の解説
n個組 ( v 0 , … , v n − 1 ) {\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n-1})} を n − 1 {\displaystyle n-1} 次の多項式 p v ( x ) = v 0 + v 1 x + v 2 x 2 + ⋯ + v n − 1 x n − 1 {\displaystyle p_{v}(x)=v_{0}+v_{1}x+v_{2}x^{2}+\cdots +v_{n-1}x^{n-1}} と見做すと便利なことがある。離散フーリエ変換の定義式(2)の和を書き下すと、 f k = v 0 + v 1 α k + v 2 α 2 k + ⋯ + v n − 1 α ( n − 1 ) k {\displaystyle f_{k}=v_{0}+v_{1}\alpha ^{k}+v_{2}\alpha ^{2k}+\cdots +v_{n-1}\alpha ^{(n-1)k}} となる。つまり、 f k {\displaystyle f_{k}} は多項式 p v ( x ) {\displaystyle p_{v}(x)} の x = α k {\displaystyle x=\alpha ^{k}} における値であり、 f k = p v ( α k ) {\displaystyle f_{k}=p_{v}(\alpha ^{k})} と書ける。したがって、離散フーリエ変換は、多項式の係数を値に変換するもの考えることができる。係数は時間領域で、値は周波数領域にある。もちろん、多項式の値は、単位元の n {\displaystyle n} 乗根（ α {\displaystyle \alpha } とその2乗、3乗、4乗、...）において評価することが重要である。 同様に、逆離散フーリエ変換の式(3)を書き下すと v j = 1 n ( f 0 + f 1 α − j + f 2 α − 2 j + ⋯ + f n − 1 α − ( n − 1 ) j ) ( 5 ) {\displaystyle v_{j}={\frac {1}{n}}(f_{0}+f_{1}\alpha ^{-j}+f_{2}\alpha ^{-2j}+\cdots +f_{n-1}\alpha ^{-(n-1)j})\qquad (5)} である。多項式を p f ( x ) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + ⋯ + f n − 1 x n − 1 {\displaystyle p_{f}(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\cdots +f_{n-1}x^{n-1}} とすれば、 v j = 1 n p f ( α − j ) {\displaystyle v_{j}={\frac {1}{n}}p_{f}(\alpha ^{-j})} が成り立つ。 以上をまとめると、以下のようになる。 もし、多項式 p ( x ) {\displaystyle p(x)} の値が多項式 q ( x ) {\displaystyle q(x)} の係数であるならば、（定数倍と順番の入れ替えを除けば） q ( x ) {\displaystyle q(x)} の値は p ( x ) {\displaystyle p(x)} の係数と等しい。
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多項式表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 05:35 UTC 版)
集合 {x} を単項式 x で表すと、その冪集合 {{}, {x}} は二項式 1 + x で表すことができる。集合 {x, y} を単項式 xy に対応させればその冪集合 {{}, {x}, {y}, {x, y}} は多項式 (1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy が対応する。同様に多重集合 {x, x} を単項式 x2 に対応させれば、その冪多重集合（部分多重集合全体の成す多重集合）{{}, {x}, {x}, {x, x}} は多項式 (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 に対応する。単項式 xn で表される多重集合の冪多重集合が ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}} で表されることは、二項係数 (nk) が n-元集合から選んだ k-元の組合せの総数を数え上げることになる理由を説明するものである。 集合 {x} に元をとる有限多重集合全体の成す無限集合 {{}, {x}, {x, x}, {x, x, x}, …} は形式冪級数 S = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ (= 1 + xS) で表され、形式解 S = (1 − x)−1 に多重集合の集合としての意味を与えることができるが、中間表現である 1 − x は多重集合の集合として意味を成さない。同様に、単項式 xy で表される集合に値を持つ有限多重集合全体の成す無限集合は ( 1 − x ) − 1 ( 1 − y ) − 1 = 1 + ( x + y ) + ( x 2 + x y + y 2 ) + ⋯ {\displaystyle (1-x)^{-1}(1-y)^{-1}=1+(x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+\dotsb } で表され、単項式 x2 で表される多重集合から元をとって作られる有限多重集合全体の成す無限多重集合は x = y なる特別の場合として (1 − x)−2 = 1 + 2x + 3x2 + ⋯ で表される。さらに進めて単項式 xn に対応する多重集合に値をとる有限多重集合全体の成す無限多重集合は ( 1 − x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − n k ) ( − x ) k {\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{-n \choose k}(-x)^{k}} である。これを「多重集合は濃度が負の集合」と形式的に説明することができる。負の二項係数 (−nk) は n-元集合から元をとって得られる k-元多重集合の総数を数えるものである。
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