Kn における明示的な表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/23 14:46 UTC 版)
「単拡大」の記事における「Kn における明示的な表現」の解説
複素数体が対 (a, b) によって、積は (a,b) (a',b' ) = (aa'-bb', ab'+ba') によって明示的に与えて、通常表現されるのと同じ方法で、K 上次数 n の元 α によって生成された体 K 上のすべての単拡大は集合 Kn によって、和は成分ごとに、積は変数の明示的なある式によって定義されたものが与えられて、表現される。 より正確には、 {{{1}}} この双線型写像と伴う斉次多項式を得るために、1つの単純な方法は前の節で議論された行列表現を使うことにある。良い例は長い話よりも価値がある。黄金比で生成された単拡大の例を見よう。 ( a b b a + b ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\b&a+b\end{array}}\right)} と ( a ′ b ′ b ′ a ′ + b ′ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a'&b'\\b'&a'+b'\end{array}}\right)} の形の2つの行列の積は ( a a ′ + b b ′ a b ′ + b ( a ′ + b ′ ) a ′ b + b ′ ( a + b ) b b ′ + ( a + b ) ( a ′ + b ′ ) ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}aa'+bb'&ab'+b(a'+b')\\a'b+b'(a+b)&bb'+(a+b)(a'+b')\end{array}}\right)} である。 求める双線型写像は行列の積の最初の列を「読む」： f((a,b),(a',b' )) = (aa' + bb', a'b + b' (a+b)).したがって、明示的な積は(X1 , X2) (Y1 , Y2) = (X1Y1 + X2Y2 , X2Y1 + X1Y2 + X2Y2) 容易にわかるようにこの手法は非常に一般的である。 次のことを強調することは重要である。ここで問題となっている問題は代数的ではなく、Kn におけるこの表現は明らかな方法で以前議論された多項式表現と同一視されることなしに、計算機的、アルゴリズム的である。しかしながら、積の効率的な計算は、α の最小多項式を法としたリダクションを利用するなら、明示的な積と行列の表現の単純な実行をさらに要求する。代償はもちろん双線型写像 f の決定であるが、たった一度だけ実行されればいいので、一般にそうであるように大量の演算が必要な計算にとってこの選択は有利である。
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