ガロア拡大体の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
有限次代数拡大体 L / K {\displaystyle L/K} が特にガロア拡大体であるとする。 今、 R , P {\displaystyle \scriptstyle R,\ {\mathfrak {P}}} を L の付値環、付値イデアルとしたとき、各 i ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle i\geq 0} に対して、 R / P i + 1 {\displaystyle \scriptstyle R/{\mathfrak {P}}^{i+1}} の元を動かさないような L / K {\displaystyle L/K} の同型写像の集合を G i = { σ ∈ Gal ( L / K ) | σ ( x ) ≡ x mod P i + 1 , ( for any x ∈ R ) } {\displaystyle G_{i}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)|\ \sigma (x)\equiv x\ {\bmod {\ }}{\mathfrak {P}}^{i+1},\ ({\mbox{for any }}x\in R)\}} とおくと、 G i {\displaystyle G_{i}} は Gal ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} の部分群となる。 特に G 0 {\displaystyle G_{0}} に対して、 Aut ( F L / F K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Aut} (F_{L}/F_{K})} を剰余体 F L {\displaystyle F_{L}} の F K {\displaystyle F_{K}} 上の自己同型写像全体とすれば Gal ( L / K ) / G 0 ≃ Aut ( F L / F K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)/G_{0}\simeq \operatorname {Aut} (F_{L}/F_{K})} であり、 G 0 {\displaystyle G_{0}} は可解群となる。 さらに、 L / K {\displaystyle L/K} が完全分岐であるならば、 Gal ( L / K ) = G 0 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)=G_{0}} であり、十分大きな全ての i に対して、 G i {\displaystyle G_{i}} は恒等写像しか含まない。従って Gal ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} は可解群となる。
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