ガロア拡大の特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 05:40 UTC 版)
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である： E/F は正規拡大かつ分離拡大である。 E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。 |Aut(E/F)| = [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数と等しい。 他の同値なステートメントとして以下がある： F[x] の既約多項式で E に少なくとも 1 つの根をもつものはすべて E 上分解しかつ分離的である。 |Aut(E/F)| ≥ [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数以上である。 F は Aut(E) の部分群の固定体である。 F は Aut(E/F) の固定体である。 E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群の間には1対1の対応がある。
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