ガロア圏成立の経緯とは? わかりやすく解説

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ガロア圏成立の経緯

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/06/25 05:41 UTC 版)

ガロア圏」の記事における「ガロア圏成立の経緯」の解説

グロタンディークのガロア理論ガロア圏は、体のガロア理論抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され代数幾何学設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群研究方法もたらした体論古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数基礎としたエミール・アルティン(Emil Artin)の理論代わる見方もたらしたアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定され射有限群 G に対して有限 G-集合の圏特徴付ける圏論的性質関係している。例えば、G として ^Z と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 Z/nZ逆極限である。あるいは同じことであるが、有限指数部分群位相対す無限巡回群完備化である。すると、有限 G-集合は G が商有限巡回群通して作用している有限集合 X であり、X の置換与えると特定することができる。 上の例では、古典的なガロア理論との関係は、^Z を任意の有限体 F 上の代数的閉包 F の射有限ガロア群 Gal(F/F) と見なすことである。すなわち、F を固定する F の自己同型は、 F 上の大きな有限分解体をとるように、逆極限により記述される幾何学との関係は、原点取り除いた複素平面内の単位円板被覆空間として見なすことができる。複素変数 z と考えると、円板zn 写像により実現される有限被覆は、穴あき円板基本群部分群 n.Z に対応するSGA1出版されグロタンディーク理論は、どのようにして G-集合の圏ファイバー函手(fibre functor) Φ から再構成するかが示されている。ファイバー函手は、幾何学的な設定では、(集合として)固定されたベースポイント上の被覆ファイバーを持つ。実際タイプ GAut(Φ) として証明され同型存在する右辺は、Φ の自己同型群自己自然変換)である。集合の圏への函手をもつ圏の抽象的な分類は、射有限な G に対する G-集合の圏認識することによって与えられるどのようにしてこれを体の場合適用するかを知るには、体のテンソル積研究する必要があるトポス理論の中の体のテンソル積は、原子トポス(atomic topos)の理論全体となる。

※この「ガロア圏成立の経緯」の解説は、「ガロア圏」の解説の一部です。
「ガロア圏成立の経緯」を含む「ガロア圏」の記事については、「ガロア圏」の概要を参照ください。

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